Παράδειγμα

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παράδειγμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 03, 2021 12:40 pm

Επαναφέρω ένα θέμα με αυστηρότερες απαιτήσεις : Δώστε παράδειγμα παραγωγίσιμης συνάρτησης ,

η οποία έχει τον ίδιο τύπο για κάθε x\in\mathbb{R} , δεν είναι πολυώνυμο 2ου βαθμού και για την οποία

υπάρχει διάστημα : [\: a \:  ,  \: b \:] , ( ποιο ; ) , για το οποίο το \xi του Θ . Μ . Τ , να ισούται με \dfrac{a+b}{2} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1931
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Παράδειγμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Φεβ 03, 2021 12:49 pm

Θανάση η f(x)=1 στο διάστημα [-1,1] ικανοποιεί τις υποθέσεις που δίνεις.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράδειγμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 03, 2021 1:01 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 03, 2021 12:40 pm
Επαναφέρω ένα θέμα με αυστηρότερες απαιτήσεις : Δώστε παράδειγμα παραγωγίσιμης συνάρτησης ,

η οποία έχει τον ίδιο τύπο για κάθε x\in\mathbb{R} , δεν είναι πολυώνυμο 2ου βαθμού και για την οποία

υπάρχει διάστημα : [\: a \:  ,  \: b \:] , ( ποιο ; ) , για το οποίο το \xi του Θ . Μ . Τ , να ισούται με \dfrac{a+b}{2} .

Νομίζω ότι πριν από 3 εβδομάδες είδαμε πολλά τέτοια παραδείγματα, σε αντίστοιχες συζητήσεις. Όπως και να είναι, η f(x) =\cos x έχει την ιδιότητα στο [a,\, b]= [-\pi/2,\, \pi /2] διότι f(b)-f(a)=0 και για \xi = (a+b)/2=0 έχουμε f'(\xi) =- \sin 0=0. Επιπλέον εδώ το \xi είναι μοναδικό.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1931
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Παράδειγμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Φεβ 03, 2021 1:01 pm

Επίσης κάθε άρτια παραγωγίσιμη συνάρτηση σε συμμετρικό διάστημα έχει την ιδιότητα αυτή.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράδειγμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 03, 2021 1:07 pm

Είχαμε σχετική συζήτηση εδώ και σίγουρα αλλού την ίδια εποχή.

Τέτοιου τύπου ερωτήσεις ανοικτού τύπου είναι πάντα χρήσιμες.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Παράδειγμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 03, 2021 1:53 pm

Λίγο δυσκολότερα : Η C_{f} , να μην είναι ευθεία και f(a)\neq f(b) .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράδειγμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 03, 2021 2:11 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 03, 2021 1:53 pm
Λίγο δυσκολότερα : Η C_{f} , να μην είναι ευθεία και f(a)\neq f(b) .
Παίρνουμε μία οποιαδήποτε f της οποίας το \xi είναι (a+b)/2 αλλά πες ότι ατυχύσαμε και ικανοποιεί f(a)=f(b). Κανένα πρόβλημα: Της προσθέτουμε px^2+qx+r για οτιδήποτε συντελεστές θέλουμε. Αυτή κάνει την δουλειά. Γενικότερα αν οι f,g έχουν \xi =(a+b)/2 τότε ισχύει το ίδιο για όλες τις \lambda f + \mu g, οπότε διορθώνουμε ότι σφάλμα έχει η f.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Παράδειγμα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 04, 2021 10:08 am

Γράφω ολοκληρωμένο το ζητούμενο : Να δοθεί παράδειγμα συνάρτησης f, παραγωγίσιμης στο \mathbb{R} ,

με τον ίδιο τύπο σε όλο το \mathbb{R} , η οποία να μην είναι ευθεία ή δευτεροβάθμιο τριώνυμο και για την

γραφική παράσταση της οποίας , να υπάρχουν σημεία A(a , f(a)) και B(b,f(b)) , με f(a)\neq f(b) ,

τέτοια ώστε , το \xi που προκύπτει από Θ . Μ . Τ . , να ισούται με \dfrac{a+b}{2} .

Τα παραδείγματα που προαναφέρθηκαν , δεν ικανοποιούν όλες τις παραπάνω απαιτήσεις.

Για παράδειγμα η : f(x)=\sqrt{1-x^2}+x^2+2001x , με την τότε διατύπωση , ήταν ΟΚ ,

τώρα όμως δεν κάνει , αφού δεν ορίζεται σε ολόκληρο το \mathbb{R} .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράδειγμα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Φεβ 04, 2021 2:21 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 04, 2021 10:08 am
Τα παραδείγματα που προαναφέρθηκαν , δεν ικανοποιούν όλες τις παραπάνω απαιτήσεις.

Για παράδειγμα η : f(x)=\sqrt{1-x^2}+x^2+2001x , με την τότε διατύπωση , ήταν ΟΚ ,

τώρα όμως δεν κάνει , αφού δεν ορίζεται σε ολόκληρο το \mathbb{R} .
Σωστά, αλλά δεν είπα ότι όλα τα παραδείγμα της παραπομπής κάνουν. Αυτό που επιλέγεις από το ποστ #7 πράγματι δεν κάνει αλλά στο ίδια σημείο του #7 μόλις μια γραμμή πιο πάνω, υπάρχει παράδειγμα που κάνει. Είναι αυτονόητο ότι εκείνο επιλέγουμε.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Παράδειγμα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 06, 2021 9:01 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 04, 2021 10:08 am

Να δοθεί παράδειγμα συνάρτησης f, παραγωγίσιμης στο \mathbb{R} , με τον ίδιο τύπο σε όλο το \mathbb{R} ,

η οποία να μην είναι ευθεία ή δευτεροβάθμιο τριώνυμο και για την γραφική παράσταση

της οποίας , να υπάρχουν σημεία A(a , f(a)) και B(b,f(b)) , με f(a)\neq f(b) ,

τέτοια ώστε , το \xi που προκύπτει από Θ . Μ . Τ . στο [\:a \: ,\: b\:] , να ισούται με \dfrac{a+b}{2} .

Τέτοια συνάρτηση ( με το αντίστοιχο διάστημα ) , δεν έχει ακόμη ανακοινωθεί στην παρούσα ανάρτηση .

Αν κάποιος έχει απορία αν υπάρχουν συναρτήσεις μ' αυτές τις ιδιότητες , η απάντηση είναι ναι !


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράδειγμα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Φεβ 06, 2021 9:14 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 06, 2021 9:01 am
KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 04, 2021 10:08 am

Να δοθεί παράδειγμα συνάρτησης f, παραγωγίσιμης στο \mathbb{R} , με τον ίδιο τύπο σε όλο το \mathbb{R} ,

η οποία να μην είναι ευθεία ή δευτεροβάθμιο τριώνυμο και για την γραφική παράσταση

της οποίας , να υπάρχουν σημεία A(a , f(a)) και B(b,f(b)) , με f(a)\neq f(b) ,

τέτοια ώστε , το \xi που προκύπτει από Θ . Μ . Τ . στο [\:a \: ,\: b\:] , να ισούται με \dfrac{a+b}{2} .

Τέτοια συνάρτηση ( με το αντίστοιχο διάστημα ) , δεν έχει ακόμη ανακοινωθεί στην παρούσα ανάρτηση .

Αν κάποιος έχει απορία αν υπάρχουν συναρτήσεις μ' αυτές τις ιδιότητες , η απάντηση είναι ναι !
x+\cos x στο [\frac {\pi}{2},\, \frac {\pi}{2}]

Μου κάνει όμως εντύπωση που λες ότι δεν υπάρχει τέτοιο παράδειγμα στο θρεντ ή ότι κάποιος μπορεί ακόμη να απορεί αν υπάρχουν τέτοιες f. Ουσιαστικά στο θρεντ υπάρχουν άπειρα παραδείγματα: Στο ποστ #7 λέει ότι παίρνουμε οποιαδήποτε f που έχει \xi = (a+b)/2 (τέτοιες ξέρουμε πολλές και π.χ. μία τέτοια είναι η \cos x στο ποστ #3, και γενίκευση στο #4, και ξανά στην παραπομπή του ποστ #5). Αν αυτή, ατυχώς, ικανοποιεί f(a)=f(b) τότε της προσθέτουμε δευτεροβάθμιο το πολύ. Εδώ πρόσθεσα το x στο \cos x. Spell it out, που λέμε.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Παράδειγμα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 06, 2021 11:16 am

Μιχάλη , αυτό είναι παράδειγμα ! Το "πάρε μια συνάρτηση με κάποια ιδιότητα από κάποιο θρεντ και πρόσθεσε

ένα τριώνυμο " , είναι μέθοδος για την δημιουργία παραδειγμάτων , αλλά η εκφώνηση ζητούσε έτοιμο παράδειγμα .

Όπως θα έλεγε και ο Αίσωπος : "Ψάχνω για ίχνη λιονταριού , όχι για το ίδιο το λιοντάρι " :lol:

Τώρα , ας αναβαθμίσουμε έτι περαιτέρω τις απαιτήσεις μας για την f .

Να έχει όλα τα παραπάνω και επιπλέον να έχει το ίδιο είδος κυρτότητας σε ολόκληρο το \mathbb{R} .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράδειγμα

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Φεβ 06, 2021 11:33 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 06, 2021 11:16 am
Τώρα , ας αναβαθμίσουμε έτι περαιτέρω τις απαιτήσεις μας για την f .

Να έχει όλα τα παραπάνω και επιπλέον να έχει το ίδιο είδος κυρτότητας σε ολόκληρο το \mathbb{R} .
Ωραία.

Η f(x) = x^2 +x+ \cos x στο  [-\frac {\pi}{2},\, \frac {\pi}{2}] κάνει την την δουλειά ως προς το \xi, f(a) \ne f(b) \, (*) και επιπλέον αφού f''(x) = 2 -\cos x \ge 1 >0, είναι κυρτή σε ολόκληρο το \mathbb{R}.

Αν θέλαμε κοίλη, μία τέτοια είναι η παραλλαγή της f(x) =- x^2 -x+ \cos x, στο ίδιο διάστημα.

(*) έκανα μικρή προσθήκη εδώ για να διορθώσω αρχική αβλεψία μου. Ευχαριστώ τον θεματοθέτη Θανάση που μου επεσήμανε ότι ξέχασα μια από τις συνθήκες.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Παράδειγμα

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 06, 2021 7:42 pm

Έξοχα Μιχάλη !

Τελευταίο και ευκολότερο : Βρείτε μια συνάρτηση με όλα τα παραπάνω " προσόντα" και ένα επιπλέον :

Το χρησιμοποιούμενο διάστημα να μην είναι συμμετρικό , ως προς το μηδέν .

Βρείτε και μία που να μην περιέχει τριγωνομετρικό αριθμό

Να υποθέσουμε ότι στο ερώτημα αν υπάρχει άλλη τέτοια συνάρτηση που ικανοποιεί τα παραπάνω

για κάθε διάστημα [\:a\: ,\: b\:] , η οριστική απάντηση είναι όχι ;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράδειγμα

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 07, 2021 12:39 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 06, 2021 7:42 pm
Τελευταίο και ευκολότερο : Βρείτε μια συνάρτηση με όλα τα παραπάνω " προσόντα" και ένα επιπλέον :

Το χρησιμοποιούμενο διάστημα να μην είναι συμμετρικό , ως προς το μηδέν .

Βρείτε και μία που να μην περιέχει τριγωνομετρικό αριθμό
Να ένας εύκολος τρόπος να φτιάχνουμε τέτοιες συναρτήσεις.

Αρχίζουμε με μία κυρτή f σε όλο το \mathbb R για την οποία βρίσκουμε ένα διάστημα [a,b] τέτοιο ώστε ισχύει το ΘΜΤ με \xi = \dfrac {a+b}{2}. Για παράδειγμα η \sqrt {x^2+1} στο [-1,\, 1] είναι τέτοια.

Εεεεπ, θα πει ο Θανάσης, εδώ το διάστημα είναι συμμετρικό και είπαμε ότι απαγορεύεται.

Αααα.

Α ναι, νο πρόμπλεμ, Πάρε μία μεταφορά του διαστήματος και ανάλογη αλλαγή μεταβλητής ώστε να μην έχεις συμμετρικό διάστημα. Για παράδειγμα αντί της παραπάνω \sqrt {x^2+1} στο [-1,1] πάρε την \sqrt {(x-1)^2+1} στο [0,2]. Tώρα αυτή έχει \xi = (a+b)/2=1 (όποιος δεν το πιστεύει, ας ελέγξει) και το διάστημα δεν είναι συμμετρικό.

Μια στιγμή, αυτή πράγματι ικανοποιεί τις περισσότερες συνθηκες αλλά δυστυχώς f(a)=f(b) για τα νέα a,b (όπως άλλωστε η αρχική για τα παλιά).

Αααα.

Α ναι, νο πρόμπλεμ και πάλι. Πρόσθεσέ της x και τότε δεν άλλαξαν τα προηγούμενα αλλά τώρα f(a)\ne f(b).

Τώρα είμαστε εντάξει.

Με άλλα λόγια η f(x)=x+\sqrt {(x-1)^2+1} είναι κυρτή στο \mathbb R, ο περιορισμός της στο [0,\, 2] έχει \xi =1 και f(0)\ne f(2). Όλα τα έχει ο μπαξές.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράδειγμα

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 07, 2021 11:13 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 03, 2021 12:40 pm
Επαναφέρω ένα θέμα με αυστηρότερες απαιτήσεις : Δώστε παράδειγμα παραγωγίσιμης συνάρτησης ,

η οποία έχει τον ίδιο τύπο για κάθε x\in\mathbb{R} , δεν είναι πολυώνυμο 2ου βαθμού και για την οποία

υπάρχει διάστημα : [\: a \:  ,  \: b \:] , ( ποιο ; ) , για το οποίο το \xi του Θ . Μ . Τ , να ισούται με \dfrac{a+b}{2} .
Απλά για να την καταγράψω, μια ενδιαφέρουσα συνάρτηση που για δοθέν [a,b] έχει \xi = \dfrac {a+b}{2} είναι η

f(x)=x^4-2(a+b)x^3.

Εδώ f(b)-f(a)= -(a+b)^3(b-a) που είναι ίσο με το (4\xi ^3-6(a+b) \xi ^2)(b-a). Επαλήθευση: To τελευατίο είναι \displaystyle{\xi^2(4\xi -6(a+b))(b-a)=\dfrac {(a+b)^2}{4}(2(a+b)-6(a+b))(b-a)=-(a+b)^3(b-a)}, δηλαδή όσο πριν.

Πώς την βρήκα; Απλά ξεκίνησα από f(x)=x^4+px^3 και λύνοντας μια πρωτοβάθμια βρίσκουμε το p με f(b)-f(a)=f'(\frac {a+b}{2})(b-a).

Υπόψη δεν έχει νόημα να έχουμε στην υποψήφια f όρους βαθμού 2 και κάτω γιατί τα δευτεροβάθμια πολυώνυμα έτσι και αλλιώς ικανοποιούν την συνθήκη \xi = \frac {a+b}{2}, σε κάθε διάστημα, οπότε δεν δίνουν περισσότερη πληροφορία.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης