Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
Με αφορμή την όλη συζήτηση εδώ ... προτείνω:
Να δειχθεί ότι σε τυχόν τρίγωνο ισχύει η ανισότητα .
[Ευχαριστώ τον Γιώργο Βισβίκη για διόρθωση στην φορά της ανισότητας!]
Να δειχθεί ότι σε τυχόν τρίγωνο ισχύει η ανισότητα .
[Ευχαριστώ τον Γιώργο Βισβίκη για διόρθωση στην φορά της ανισότητας!]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
Καλησπέρα και καλή χρονιά σε όλους!
Μια ακόμη προσέγγιση:
Θεωρώ τη διχοτόμο .
Από θεώρημα διχοτόμου έχω:
.
Άρα αρκεί
,
όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του .
Όμως, η τελευταία ανισότητα ισχύει , διότι η χορδή είναι μικρότερη είτε ίση από τη διάμετρο του προαναφερθέντος κύκλου.
Μια ακόμη προσέγγιση:
Θεωρώ τη διχοτόμο .
Από θεώρημα διχοτόμου έχω:
.
Άρα αρκεί
,
όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του .
Όμως, η τελευταία ανισότητα ισχύει , διότι η χορδή είναι μικρότερη είτε ίση από τη διάμετρο του προαναφερθέντος κύκλου.
Κώστας
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
Μία ακόμη προσέγγιση με τη βοήθεια του τύπου αποτετραγωνισμού και του νόμου συνημιτόνων.
που ισχύει. Η ισότητα ισχύει μόνο όταν .
: Είναι λόγω της τριγωνικής ανισότητας.
Αλέξανδρος
που ισχύει. Η ισότητα ισχύει μόνο όταν .
: Είναι λόγω της τριγωνικής ανισότητας.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
Φέρνω τη διχοτόμο και πολλαπλασιάζοντας με τα 2 μέλη της ζητούμενης έχουμε διαδοχικά:
που ισχύει.
Η ισότητα αν και μόνο αν δηλαδή αν και μόνο αν .
Αλέξανδρος
που ισχύει.
Η ισότητα αν και μόνο αν δηλαδή αν και μόνο αν .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
Αν είναι το έγκεντρο και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου,
ισοδύναμα θέλουμε να δείξουμε ότι
, που ισχύει.
Η ισότητα ισχύει όταν το ύψος στην είναι και διχοτόμος δηλαδή όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση την .
ισοδύναμα θέλουμε να δείξουμε ότι
, που ισχύει.
Η ισότητα ισχύει όταν το ύψος στην είναι και διχοτόμος δηλαδή όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση την .
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
Re: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
Ακόμα μία λύση:
Έστω το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου.
Τότε, από θεώρημα Πτολεμαίου:
.
Έστω το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου.
Τότε, από θεώρημα Πτολεμαίου:
.
Κώστας
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
Με έγκεντρο του από Van Aubel έχουμε
. Αλλά
και η ζητούμενη είναι τώρα προφανής
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
που ισοδυναμεί με την : , η οποία ισχύει αφού το α' μέλος είναι το ,
ενώ το δεύτερο επειδή , είναι , με την ισότητα αν ( ισοσκελές ) .
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
Πολύ ωραίες λύσεις, ιδού 1-2 ακόμη, μαζί με την 'δημιουργία' της ανισότητας:
Αρκεί να εργαστούμε σε τρίγωνο με , , , όπου , . Το πηλίκο μπορεί λοιπόν να εφρασθεί ως συνάρτηση του , . Ισχύει η , άρα το μέγιστο της επιτυγχάνεται σε ένα από τα άκρα του διαστήματος . Εύκολα βλέπουμε ότι , και αυτό μας οδηγεί στην (ανα)ζητούμενη ανισότητα.
Χωρίς χρήση Λογισμού, η ζητούμενη/δοθείσα ανισότητα μπορεί να γραφεί, σύμφωνα με τα παραπάνω, ως .
Αρκεί να εργαστούμε σε τρίγωνο με , , , όπου , . Το πηλίκο μπορεί λοιπόν να εφρασθεί ως συνάρτηση του , . Ισχύει η , άρα το μέγιστο της επιτυγχάνεται σε ένα από τα άκρα του διαστήματος . Εύκολα βλέπουμε ότι , και αυτό μας οδηγεί στην (ανα)ζητούμενη ανισότητα.
Χωρίς χρήση Λογισμού, η ζητούμενη/δοθείσα ανισότητα μπορεί να γραφεί, σύμφωνα με τα παραπάνω, ως .
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες