Παραμετρική καμπύλη

KARKAR · #1

Ένα θέμα που δεν εξετάζεται στα σχολικά μαθηματικά είναι το θέμα των παραμετρικών καμπύλων ,

και το σχετιζόμενο θέμα της απαλοιφής .

Λοιπόν , να σχεδιαστεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων S(x,y)

, αν: $x=\dfrac{t^2}{t^2+1} , y=\dfrac{t}{t^2+1}$

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 9:02 pm
Λοιπόν , να σχεδιαστεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων , αν: $x=\dfrac{t^2}{t^2+1} , y=\dfrac{t}{t^2+1}$

Για

έχουμε το αποδεκτό σημείο (0.0).

Έστω τώρα $t\neq 0,$ τότε, αν θέσουμε $\displaystyle{u = \frac{1}{t}}$ η "καμπύλη γράφεται": $\displaystyle{x = \frac{1}{{1 + {u^2}}},\;y = \frac{u}{{1 + {u^2}}},}$ οπότε έχουμε: $\displaystyle{{x^2} + {y^2} = x \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}...}$

Λευτέρης Παπανικολάου · #3

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 9:31 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 9:02 pm
Λοιπόν , να σχεδιαστεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων , αν: $x=\dfrac{t^2}{t^2+1} , y=\dfrac{t}{t^2+1}$
Για έχουμε το αποδεκτό σημείο Έστω τώρα $t\neq 0,$ τότε, αν θέσουμε $\displaystyle{u = \frac{1}{t}}$ η "καμπύλη γράφεται": $\displaystyle{x = \frac{1}{{1 + {u^2}}},\;y = \frac{u}{{1 + {u^2}}},}$ οπότε έχουμε: $\displaystyle{{x^2} + {y^2} = x \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}...}$

Γεια σας και χρόνια πολλά! Να καταθέσω μία σκέψη: το σημείο του παραπάνω κύκλου με τετμημένη 1 (και τεταγμένη 0) νομίζω ότι εξαιρείται από τον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο. Με πολλή εκτίμηση προς το πρόσωπό σας κύριε Λουρίδα!

S.E.Louridas · #4

left έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 10:28 pm

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 9:31 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 9:02 pm
Λοιπόν , να σχεδιαστεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων , αν: $x=\dfrac{t^2}{t^2+1} , y=\dfrac{t}{t^2+1}$
Για έχουμε το αποδεκτό σημείο Έστω τώρα $t\neq 0,$ τότε, αν θέσουμε $\displaystyle{u = \frac{1}{t}}$ η "καμπύλη γράφεται": $\displaystyle{x = \frac{1}{{1 + {u^2}}},\;y = \frac{u}{{1 + {u^2}}},}$ οπότε έχουμε: $\displaystyle{{x^2} + {y^2} = x \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}...}$
Γεια σας και χρόνια πολλά! Να καταθέσω μία σκέψη: το σημείο του παραπάνω κύκλου με τετμημένη 1 (και τεταγμένη 0) νομίζω ότι εξαιρείται από τον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο. Με πολλή εκτίμηση προς το πρόσωπό σας κύριε Λουρίδα!

Προφανώς και έχεις απόλυτα δίκιο και σίγουρα χαίρομαι που το διαπίστωσες.
Απλά δεν έδωσα πλήρως την λύση παρά μόνο μία τεχνική-σκέψη , ώστε να δούμε σε ποια καμπύλη ή γενικότερα ένωση σημειοσυνόλων ευρίσκονται τα σημεία του τόπου, χωρίς κατανάγκην να είναι όλα τα σημεία της καμπύλης ή της ένωσης των υποσυνόλων (με λίγα λόγια έμεινα στην Ανάλυση) για τούτο και οι τελίτσες. Προφανώς σε πλήρη λύση (που αποτελείται από τα βήματα: Ανάλυση-Σύνθεση-Απόδειξη-Διερεύνηση) θα πρέπει σίγουρα να βρούμε τα πεδία τιμών των $x\left( t \right) = \frac{{{t^2}}}{{{t^2} + 1}}/{\Cal R}$ και $y\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 1}}/{\Cal R}.$

Λευτέρης Παπανικολάου · #5

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 27, 2020 12:07 am

left έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 10:28 pm

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 9:31 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 9:02 pm
Λοιπόν , να σχεδιαστεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων , αν: $x=\dfrac{t^2}{t^2+1} , y=\dfrac{t}{t^2+1}$
Για έχουμε το αποδεκτό σημείο Έστω τώρα $t\neq 0,$ τότε, αν θέσουμε $\displaystyle{u = \frac{1}{t}}$ η "καμπύλη γράφεται": $\displaystyle{x = \frac{1}{{1 + {u^2}}},\;y = \frac{u}{{1 + {u^2}}},}$ οπότε έχουμε: $\displaystyle{{x^2} + {y^2} = x \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}...}$
Γεια σας και χρόνια πολλά! Να καταθέσω μία σκέψη: το σημείο του παραπάνω κύκλου με τετμημένη 1 (και τεταγμένη 0) νομίζω ότι εξαιρείται από τον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο. Με πολλή εκτίμηση προς το πρόσωπό σας κύριε Λουρίδα!
Προφανώς και έχεις απόλυτα δίκιο και σίγουρα χαίρομαι που το διαπίστωσες.
Απλά δεν έδωσα πλήρως την λύση παρά μόνο μία τεχνική-σκέψη , ώστε να δούμε σε ποια καμπύλη ή γενικότερα ένωση σημειοσυνόλων ευρίσκονται τα σημεία του τόπου, χωρίς κατανάγκην να είναι όλα τα σημεία της καμπύλης ή της ένωσης των υποσυνόλων (με λίγα λόγια έμεινα στην Ανάλυση) για τούτο και οι τελίτσες. Προφανώς σε πλήρη λύση (που αποτελείται από τα βήματα: Ανάλυση-Σύνθεση-Απόδειξη-Διερεύνηση) θα πρέπει σίγουρα να βρούμε τα πεδία τιμών των $x\left( t \right) = \frac{{{t^2}}}{{{t^2} + 1}}/{\Cal R}$ και $y\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 1}}/{\Cal R}.$

Σας ευχαριστώ πολύ για την κατατοπιστική απάντηση, να είστε καλά!

KARKAR · #6

Το σχήμα του τόπου :

: Παραμετρική.png (20.45 KiB) Προβλήθηκε 556 φορές

Είναι : $-\dfrac{1}{2}\le y\le \dfrac{1}{2}$ και $0\le x <1$ .

Εκ παραδρομής είχα θέσει : $x<\dfrac{1}{2}$ , γι'αυτό είχε προκύψει ημικύκλιο .

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 27, 2020 7:56 am
Το σχήμα του τόπου :Παραμετρική.png

Θανάση, νομίζω ο τόπος είναι όλος ο κύκλος (πλην του σημείου (1,0)

στο δεξί άκρο), όπως άλλωστε γράφουν οι παραπάνω.

Ας προσθέσω ότι το σημείο που λείπει είναι η οριακή θέση $t\to \pm \infty$ . Tρόπος του λέγειν (αλλά μην με ψέξετε) είναι η περίπτωση $t=\pm \infty$ .

Λάμπρος Κατσάπας · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 9:02 pm
Ένα θέμα που δεν εξετάζεται στα σχολικά μαθηματικά είναι το θέμα των παραμετρικών καμπύλων ,

και το σχετιζόμενο θέμα της απαλοιφής .

Λοιπόν , να σχεδιαστεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων , αν: $x=\dfrac{t^2}{t^2+1} , y=\dfrac{t}{t^2+1}$

Είναι άμεσο για κάποιον που γνωρίζει αυτό: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Weierst ... bstitution

Παραμετρική καμπύλη

Παραμετρική καμπύλη

Re: Παραμετρική καμπύλη

Re: Παραμετρική καμπύλη

Re: Παραμετρική καμπύλη

Re: Παραμετρική καμπύλη

Re: Παραμετρική καμπύλη

Re: Παραμετρική καμπύλη

Re: Παραμετρική καμπύλη

Μέλη σε σύνδεση