U-527 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 973
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

U-527 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τετ Σεπ 16, 2020 7:26 am

Σας προτείνω το θέμα U-527 από το τέταρτο τεύχος των Mathematical Reflections του 2020.
Το θέμα προτείνει ο Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam.
Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων ήταν η 15η Σεπτεμβρίου 2020 , η οποία παρήλθε. Έτσι έχω όλη την άνεση να το μοιραστώ μαζί σας...


Βρείτε την μικρότερη σταθερά C έτσι ώστε να ισχύει \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k^{4}+4}< C

για όλους τους θετικούς ακέραιους n.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8488
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: U-527 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Σεπ 16, 2020 10:36 am

Ουσιαστικά θέλει το

\displaystyle \begin{aligned} 
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^4+4} &= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{(k^2-2k+2)(k^2+2k+2)} \\ 
&= \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k^2-2k+2} - \frac{1}{k^2+2k+2}\right)  \\ 
&= \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(k-1)^2+1} - \frac{1}{(k+1)^2+1}\right)  \\ 
&= \frac{1}{4}\left(\frac{1}{0^2+1} + \frac{1}{1^2+1} \right) = \frac{3}{8}. 
\end{align}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες