Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1500
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τετ Ιούλ 08, 2020 10:50 am

Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου.png
Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου.png (15.65 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές
Μια μεταβλητή ευθεία \epsilon διέρχεται από το κέντρο O ενός ισοπλεύρου τριγώνου ABC πλευράς 1 και τέμνει τις πλευρές του CA,CB στα σημεία P,Q. Να βρείτε τη θέση της ευθείας για την οποία το μήκος του τμήματος PQ γίνεται ελάχιστο.

Σχόλιο Η άσκηση προσφέρεται για πολλές προσεγγίσεις. Γι΄αυτό επιλέχθηκε ο συγκεκριμένος φάκελος, για να υπάρχει άνεση χειρισμών.

Αφιερώνεται στον υπέροχο Ροδόλφο Μπόρη.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10553
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιούλ 08, 2020 6:49 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Τετ Ιούλ 08, 2020 10:50 am
Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου.png

Μια μεταβλητή ευθεία \epsilon διέρχεται από το κέντρο O ενός ισοπλεύρου τριγώνου ABC πλευράς 1 και τέμνει τις πλευρές του CA,CB στα σημεία P,Q. Να βρείτε τη θέση της ευθείας για την οποία το μήκος του τμήματος PQ γίνεται ελάχιστο.

Σχόλιο Η άσκηση προσφέρεται για πολλές προσεγγίσεις. Γι΄αυτό επιλέχθηκε ο συγκεκριμένος φάκελος, για να υπάρχει άνεση χειρισμών.

Αφιερώνεται στον υπέροχο Ροδόλφο Μπόρη.
Φέρνω το τμήμα MN||AB που διέρχεται από το O, όπως φαίνεται στο σχήμα και είναι \displaystyle CM = MN = NC = \frac{2}{3}.
Θέτω MP=x, QN=y, x\ge y.
Ελάχιστο σε ισόπλευρο.png
Ελάχιστο σε ισόπλευρο.png (8.45 KiB) Προβλήθηκε 592 φορές
Ν.συνημιτόνου στο CPQ: \boxed{P{Q^2} = {\left( {x + \frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3} - y} \right)^2} - \left( {x + \frac{2}{3}} \right)\left( {\frac{2}{3} - y} \right)} (1)

Μενέλαος στο CMN με διατέμνουσα \displaystyle \overline {POQ}: \displaystyle \frac{{\frac{2}{3} - y}}{y} \cdot \frac{x}{{x + \frac{2}{3}}} = 1 \Leftrightarrow \boxed{y = \frac{x}{{3x + 1}}} (2)

Από (1) και (2), \displaystyle f(x) = P{Q^2} = \frac{{{{(3x + 2)}^2}(9{x^2} + 3x + 1)}}{{9{{(3x + 1)}^2}}} με παράγωγο

\displaystyle f'(x) = \frac{{x(54{x^3} + 81{x^2} + 45x + 10)}}{{{{(3x + 1)}^3}}},x \ge 0. Άρα η f παρουσιάζει για \boxed{x=0} ελάχιστη τιμή ίση με

\dfrac{4}{9}, δηλαδή \boxed{P{Q_{\min }} = \frac{2}{3}} Επομένως το MN είναι το ελάχιστο τμήμα.


Η λύση αφιερώνεται στον Ροδόλφο Μπόρη.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3359
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 08, 2020 8:29 pm

Στο σχήμα του Γιώργου.
Λογω συμμετρίας μπορούμε να υποθέσουμε ότι το Q είναι μεταξύ των C,N.
Εστω K το συμμετρικό του P ως προς την CO.
Η MN είναι διχοτόμος της \angle KOQ
Ετσι έχουμε MN=2ON\leq OK+OQ=QP
Στηριχθήκαμε στο ότι σε κάθε τρίγωνο η διχοτόμος είναι μικρότερη η ιση της διαμέσου
η οποία είναι μικρότερη από το μισό του αθροίσματος των δυο πλευρών στις οποίες
είναι ανάμεσα.

Τα ίδια ισχύουν αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το C και το Ο είναι σημείο του
υψους του


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1312
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τετ Ιούλ 08, 2020 8:34 pm

Η ίδια ερώτηση με ευθεία που περνάει από το βαρύκεντρο ισοσκελούς πυραμίδας στις 3 διαστάσεις και η ίδια στις n διαστάσεις με ευθεία που περνάει από το βαρύκεντρο του κανονικού (regular) simplex.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης