Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

#1

Καλημέρα σε όλους.

Αναρτώ εδώ ένα κείμενο σχετικά με το θέμα που συζητήθηκε ΕΔΩ.

Δεν ήθελα να συνεχίσω τη συζήτηση σε χώρο που μπορεί να εμπλακούν και μαθητές.

Το θέμα αφορά κυριώς εμάς! (Το κείμενο βρίσκεται στο συνημμένο αρχείο στο τέλος της ανάρτησης).

: Θέμα Γ, Παλαιό 2020 Εκφώνηση.jpg (67.43 KiB) Προβλήθηκε 1343 φορές

1. Όπως δίνεται η εκφώνηση, για το

δεν υπάρχει κάποιος ορισμός, εκτός του σχήματος, στο οποίο φαίνεται ότι είναι ένα σημείο της $\displaystyle {\rm B}\Gamma$ , ώστε $\displaystyle \widehat {BOM} = \widehat {\rm A} = \theta$ . Οπότε χρειάζεται να αποδειχθεί το ότι είναι συνευθειακά τα A, O, M

και το ότι $\displaystyle {\rm A}{\rm M} \bot {\rm B}\Gamma$ .

Πράγματι, Το

είναι περίκεντρο του ισοσκελούς $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ , οπότε τα A, O

βρίσκονται στη μεσοκάθετή του. Επίσης, $\displaystyle \widehat {{\rm B}{\rm O}\Gamma } = 2\widehat {\rm A} = 2\theta$ , άρα η

είναι διχοτόμος της $\displaystyle \widehat {{\rm B}{\rm O}\Gamma }$ , οπότε και ύψος στη $\displaystyle {\rm B}\Gamma$ , άρα A, O ,M

συνευθειακά και $\displaystyle {\rm A}{\rm M} \bot {\rm B}\Gamma$ .

ΕΡΩΤΗΣΗ (1):
Αυτό το σημαντικό τμήμα της απόδειξης, πόσο «κοστολογείται» στις 5 μονάδες του ερωτήματος Γ1;

ΕΡΩΤΗΣΗ (2):
Το ότι σε κάποιες προτεινόμενες λύσεις φροντιστηρίων και δικτυακών τόπων παραβλέπονται τα παραπάνω, αποτελεί τεκμήριο για να δοθούν όλες οι μονάδες; Ποια η προτεινόμενη αντιμετώπιση από την ΚΕΕ;

2. Η συνθήκη $\displaystyle \widehat {{\rm B}{\rm O}{\rm M}} = \widehat {\rm A} = \theta$ περιορίζει το πρόβλημα για μη αμβλυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο με κορυφή

, οπότε η συνθήκη $\displaystyle \theta \in \left( {0,\;\pi } \right)$ είναι λάθος.
Αν το τρίγωνο έχει $\displaystyle \pi > \widehat {\rm A} = \theta > \frac{\pi }{2}$ , τότε $\displaystyle \widehat {{\rm B}{\rm O}{\rm M}} = \pi - \theta$ .

Την παρατήρηση έκανε ο Σταύρος Παπαδόπουλος στο διάλογο για τα θέματα: (viewtopic.php?f=133&t=67348#p327042). (#10). Δείτε και τα σχόλια του Γιώργου Βισβίκη (#12). Πιθανόν να υπήρχαν κι άλλες αναφορές, σε άλλους χώρους μαθηματικών συζητήσεων, που δεν εντόπισα.

Επίσης, το σχήμα που δίνεται με την εκφώνηση, νομίζω ότι περιορίζει τον μαθητή να ασχοληθεί μόνο με την περίπτωση οξυγωνίου τριγώνου.
Οπότε, τα ερωτήματα Γ3 και Γ4 φαίνεται να είναι «στον αέρα».

3. Ο τύπος για το εμβαδό ισοσκελούς τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας

είναι σωστός σε κάθε περίπτωση.
Αν( κα μόνο αν) τα μαθηματικά που διδάσκουμε στο Λύκειο έδιναν μεγαλύτερη βαρύτητα στην Άλγεβρα, τη Γεωμετρία και την Τριγωνομετρία, τότε το πρόβλημα θα αντιμετωπιζόταν εύκολα από τους μαθητές, δίχως τη χρήση της «βοηθητικής» γωνίας $\displaystyle \widehat {{\rm B}{\rm O}{\rm M}}$ .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
Πράγματι, έστω ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma {\rm{ }}\left( {{\rm A}{\rm B}{\rm{ }} = {\rm{ }}{\rm A}\Gamma } \right)$ με $\displaystyle \widehat {\rm A} = \theta ,\;\;\theta \in \left( {0,\;\pi } \right)$ εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας

.
Τότε, από Ν. Ημιτόνων $\displaystyle {\rm B}\Gamma = 2R\eta \mu \theta ,\;\;{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma = 2R\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2} - \theta } \right) = 2R\sigma \upsilon \nu \frac{\theta }{2}$ , οπότε,
$\displaystyle \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{{{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}\Gamma }}{{4R}} = \frac{{\left( {2\eta \mu \theta \cdot R} \right) \cdot \left( {4\sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{\theta }{2} \cdot R} \right)}}{{4R}} = \eta \mu \theta \cdot \left( {2\sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{\theta }{2}} \right) = \eta \mu \theta \left( {1 + \sigma \upsilon \nu \theta } \right)$ για $\displaystyle \theta \in \left( {0,\pi } \right)$ .

4. Το πρόβλημα υπάρχει στη βιβλιογραφία από πολύ παλιά.
Σύντομα, θα επεκταθούμε στο θέμα αυτό και στις μεθόδους αντιμετώπισης των παλαιοτέρων χρόνων.

5. Προσωπική άποψη: Η προσπάθεια των θεματοδοτών να συνδυάσουν το πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα και «υπαρξιακό» ερώτημα (βλέπε Γ4), μού θυμίζει την παροιμία για αυτόν που προσπαθεί να σταθεί σε δύο βάρκες.
Στην κριτική της Ε.Μ.Ε. διάβασα ότι βρήκαν ιδιαίτερα ενδιαφέρον το θέμα Γ4.
Πιθανόν! Όμως, έχω την εντύπωση ότι είναι αταίριαστο με το κλασικό πολύ ενδιαφέρον θέμα της μεγιστοποίησης εμβαδού ισοσκελούς τριγώνου.

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 18, 2020 9:36 am
Σχόλια για το ΘΕΜΑ Γ (παλαιού συστήματος)

Κατά τη γνώμη μου το θέμα έχει σοβαρό πρόβλημα (είμαι ο μόνος που το βλέπει έτσι;). Δεν χρειαζόταν καν να εμπλακεί η γωνία $\displaystyle {\rm B}\widehat {\rm O}{\rm M}$ και θα έπρεπε να διατυπωθεί αυτούσια η άσκηση (χωρίς σχήμα), όπως είναι στο σχολικό βιβλίο (σελ. 173 άσκηση 3 από τις Γενικές).

Ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα 1. Αν θ είναι η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του είναι $\displaystyle E = (1 + {\rm{\sigma \upsilon \nu }}\theta ){\rm{\eta \mu }}\theta$ . Να βρείτε την τιμή της γωνίας $\displaystyle \theta \in (0,\pi )$ για την οποία το εμβαδόν του τριγώνου μεγιστοποιείται.

Στη συνέχεια μπορούσαν να προστεθούν τα υποερωτήματα $\Gamma.3$ και $\Gamma.4.$

: Άσκηση 3, σελ 173.jpg (88.94 KiB) Προβλήθηκε 1881 φορές

Εδώ, αν και στην εκφώνηση δίνεται Πεδίο ορισμού το $(0, \pi)$ , στην απάντηση, η μελέτη περιορίζεται για οξείες γωνίες. Έπρεπε να μελετηθούν και οι άλλες περιπτώσεις.
Μάλιστα, δεν ορίζεται το σημείο

. Οπότε, φαίνεται να προκύπτει από το σχήμα ότι το

είναι το ύψος στη $\displaystyle {\rm B}\Gamma$ . Τότε όμως χρειάζεται απόδειξη για το ότι οι γωνίες $\displaystyle \widehat {{\rm B}{\rm O}{\rm M}}\;\;\kappa \alpha \iota \;\;\widehat {\rm A}$ είναι ίσες. Ειδάλως, αν έπαιρνε ως δεδομένο ότι $\displaystyle \widehat {{\rm B}{\rm O}{\rm M}}\; = \;\widehat {\rm A} = \theta$ , θα έπρεπε να αποδειχθεί η συνευθειακότητα των A, O, M

.

Θα πει κανείς, τόσα χρόνια εκεί και δεν το προσέξαμε.... Ας προσέχαμε!

#2

ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ ΠΡΟΦΗΤΕΙΑ: θα μπορούσε το πρώτο ερώτημα να είχε κοπεί σε δύο υποερωτήματα, ένα όπως ακριβώς το Γ1 (με το ίδιο σχήμα) αλλά υπό την συνθήκη $0<\theta <\dfrac{\pi }{2}$ , και ένα που να ζητάει (χωρίς σχήμα πλέον) την απόδειξη του ίδιου τύπου εμβαδού αλλά υπό την συνθήκη $\dfrac{\pi }{2}<\theta <\pi$ , όπου $\theta =\angle BA \Gamma$ .

Ένας τρόπος για αυτό το δεύτερο υποερώτημα: το ύψος του τριγώνου $BA \Gamma$ ισούται -- βλέπε συνημμένο -- προς

$|AM|=|OA|-|OM|=1-\sigma \upsilon \nu \theta '=1-\sigma \upsilon \nu (\pi -\theta)=1+\sigma \upsilon \nu \theta ,$

και η βάση του προς

$2|BM|=2\eta \mu \theta '=2\eta \mu (\pi -\theta)=2\eta \mu \theta .$

[Είναι φανερό ότι το σχήμα δόθηκε για να βοηθήσει, αν μάλιστα είχε δοθεί ακριβώς το ίδιο σχήμα αλλά με την συνθήκη $\theta =\angle BA \Gamma$ αντί της δοθείσης $\theta =\angle BOM$ , θα μπορούσε κανείς να ισχυριστεί ότι οι θεματοδότες απλά ανέμεναν από τους διαγωνιζόμενους να γενικεύσουν για την περίπτωση της αμβλείας γωνίας. Με το προτεινόμενο (εκ των υστέρων) σπάσιμο σε δύο υποερωτήματα ... θα μπορούσαν πολλοί διαγωνιζόμενοι να προχωρήσουν στα υπόλοιπα ερωτήματα χάνοντας το δεύτερο υποερώτημα.]

: ΒΑΓ.png (4.43 KiB) Προβλήθηκε 1705 φορές

#3

Αν η άσκηση ήταν όπως είναι γραμμένη στο σχολικό βιβλίο χωρίς σχήμα, μπορούμε να έχουμε λύση που να περιλαμβάνει όλες τις περιπτώσεις για $\displaystyle \theta \in (0,\pi ).$ Ας όψονται όμως, όλοι εκείνοι που συρρίκνωσαν τη Γεωμετρία και την Τριγωνομετρία.

: Γ(παλαιό).ΙΙ.png (7.15 KiB) Προβλήθηκε 1656 φορές

Για κάθε $\displaystyle \theta \in (0,\pi ),$ είναι $\displaystyle \sin \frac{\theta }{2} = \frac{a}{{2b}} \Leftrightarrow$ $\boxed{b = \frac{a}{{2\sin \frac{\theta }{2}}}}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin \theta = \frac{{abc}}{{4R}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{R = 1} a = 2\sin \theta \mathop \Rightarrow \limits^{(1)} b = c = \frac{{\sin \theta }}{{\sin \frac{\theta }{2}}} = 2\cos \frac{\theta }{2}$

$\displaystyle (ABC) = \frac{1}{2}{b^2}\sin \theta = 2{\cos ^2}\frac{\theta }{2}\sin \theta = (1 + \cos \theta )\sin \theta$

painesis · #4

Στο συνημμένο αρχείο word αποδεικνύω ότι το τρίτο θέμα στις εξετάσεις παλαιού συστήματος είναι λάθος και πρέπει να ακυρωθεί. Προσπαθώ να βρω λάθος στο συλλογισμό μου αλλά δεν τα καταφέρνω θα μπορούσατε να τον εξετάσετε, ώστε αν είναι αληθής να γίνουν οι απαραίτητες ενέργειες για ακύρωση του θέματος.

#5

painesis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 19, 2020 12:36 am
Προσπαθώ να βρω λάθος στο συλλογισμό μου αλλά δεν τα καταφέρνω θα μπορούσατε να τον εξετάσετε,

To λάθος στον δικό σου συλλογισμό είναι στο σημείο που γράφεις "δηλαδή στο ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή την γωνία

..."

Το τρίγωνο $AB \Gamma$ που συζητάμε είναι ισοσκελές με

την γωνία της βάσης. Δηλαδή το τρίγωνο που επικαλείσαι είναι άσχετο με την άσκηση δεδομένου ότι δεν υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο με ορθή την γωνία

της βάσης.

thodoris_v · #6

Γειά σας. Ασχολήθηκα και εγώ με το ερώτημα Γ1 του θέματος Γ των αποφοίτων. Το θέμα δεν έχει κανένα λάθος σε κανένα σημείο. Νομίζω το πρόβλημα προκύπτει στο σημείο

. Το σημείο

προκύπτει ότι είναι μέσο της

και η $\theta$ προκύπτει ότι είναι οξεία. Άρα ο τύπος με την βοήθεια του σχήματος αποδεικνύεται στο ανοικτό $(0,\pi /2)$ . Όταν στην συνέχεια προσπαθήσετε να αποδείξετε ότι αληθεύει ο τύπος στο $\pi /2$ και στο $(\pi /2,\pi )$ δεν θα πρέπει να πάρετε το

δεδομένο ότι είναι στη

αλλά δεδομένο ότι η $\angle BOM$ είναι ίση με $\theta$ και να δείτε που βρίσκεται το

ώστε να ισχύει αυτό που είπα παραπάνω. Έτσι για $\angle \theta$ ίση με $\angle A$ και ίση με $\pi/2$ το

οπουδήποτε στη διάμετρο

με εξαίρεση το

και για $\angle \theta$ ίση με

και αμβλεία το

είναι εκτός της

και προς το μέρος του

και δεν είναι το μέσο της

αφού προφανώς τότε δεν θα μπορούσε να είναι ίση με $\angle \theta$ . Άρα το μπέρδεμα προκύπτει ότι στο σημείο

και που βρίσκεται. Αλλά το σημαντικό δεδομένο είναι ότι η $\angle BOM=\theta$ και πράγματι ισχύει ότι το

είναι εκεί που είναι όταν η $\angle \theta$ οξεία αλλά δεν είναι το

εκεί που ήταν στο σχήμα της οξείας όταν η $\theta =\pi /2$ ή όταν η $\angle \theta$ είναι αμβλεία.

Edit 1: Αν το

υποχρεωτικά είναι το μέσο της

δεν υπάρχει αμφιβολία ότι το θέμα είναι λάθος και συμφωνώ με όλα τα προηγούμενα σχόλια.

Edit 2: Προσπαθώ απεγνωσμένα να αποδείξω μόνο με το δεδομένο ότι η $\angle BOM=\theta =A$ στην περίπτωση της οξείας ότι υποχρεωτικά το

είναι στην

. Μόνο τότε τα παραπάνω που έγραψα για τις άλλες περιπτώσεις ευσταθούν. Δεν μπορώ να το αποδείξω. Το πιθανότερο γιατί είναι απαραίτητο να δοθεί όπως και δόθηκε ότι ειναι πάνω στην

. Οπότε μπορεί να αποδειχθεί μετά ότι είναι μέσο της

. Αποδέχομαι με βαριά καρδιά ότι το θέμα είναι λάθος και ότι έχει όντως μεγάλο πρόβλημα. Σημειώνω ότι η προσπάθεια που έκανα στο χαρτί ήταν γιατί δεν μπορούσα να το αποδεχθώ. Κρίμα γιατί ήταν πολύ όμορφο θέμα.

#7

Γεια σου.

Βλέπω ότι είναι η πρώτη σου δημοσίευση, αλλά έχεις εγγραφεί το Μάιο του 2013 (πριν από μένα), οπότε θα γνωρίζεις τους κανονισμούς του φόρουμ. Τα μαθηματικά σύμβολα πρέπει να είναι γραμμένα σε $\LaTeX$ όπως και οι κορυφές των πολυγώνων, τα κέντρα των κύκλων κλπ. Κάνε λοιπόν αυτές τις διορθώσεις και θα σου απαντήσω σε όλα.

painesis · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 19, 2020 8:07 am

painesis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 19, 2020 12:36 am
Προσπαθώ να βρω λάθος στο συλλογισμό μου αλλά δεν τα καταφέρνω θα μπορούσατε να τον εξετάσετε,
To λάθος στον δικό σου συλλογισμό είναι στο σημείο που γράφεις "δηλαδή στο ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή την γωνία ..."

Το τρίγωνο $AB \Gamma$ που συζητάμε είναι ισοσκελές με την γωνία της βάσης. Δηλαδή το τρίγωνο που επικαλείσαι είναι άσχετο με την άσκηση δεδομένου ότι δεν υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο με ορθή την γωνία της βάσης.

Κύριε Λάμπρου, καλησπέρα σας προφανώς στον ισχυρισμό μου υπάρχει το συγκεκριμένο λάθος εσκεμμένα γιατί ήθελα να αποδείξω ότι απορρίπτεται λόγω ενός τυπογραφικού σφάλματος. Άραγε ένα θέμα πανελλήνιων εξετάσεων γιατί να μην απορρίπτεται λόγω λάθους στη διατύπωση που οδηγεί σε παρόμοια συμπεράσματα με το δικό μου λάθος ισχυρισμό;

#9

thodoris_v έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 19, 2020 8:10 am
Γειά σας. Ασχολήθηκα και εγώ με το ερώτημα Γ1 του θέματος Γ των αποφοίτων. Το θέμα δεν έχει κανένα λάθος σε κανένα σημείο. Νομίζω το πρόβλημα προκύπτει στο σημείο . Το σημείο προκύπτει ότι είναι μέσο της και η $\angle \vartheta$ προκύπτει ότι είναι οξεία. Άρα ο τύπος με την βοήθεια του σχήματος αποδεικνύεται στο ανοικτό $(0,\pi /2)$ . Όταν στην συνέχεια προσπαθήσετε να αποδείξετε ότι αληθεύει ο τύπος στο $\pi /2$ και στο $(\pi /2,\pi )$ δεν θα πρέπει να πάρετε το δεδομένο ότι είναι στη αλλά δεδομένο ότι η $\angle BOM$ είναι ίση με $\vartheta$ και να δείτε που βρίσκεται το ώστε να ισχύει αυτό που είπα παραπάνω. Έτσι για $\angle \vartheta$ ίση με $\angle A$ και ίση με $\pi/2$ το οπουδήποτε στη διάμετρο με εξαίρεση το και για $\angle \vartheta$ ίση με και αμβλεία το είναι εκτός της και προς το μέρος του και δεν είναι το μέσο της αφού προφανώς τότε δεν θα μπορούσε να είναι ίση με $\angle \vartheta$ . Άρα το μπέρδεμα προκύπτει ότι στο σημείο και που βρίσκεται. Αλλά το σημαντικό δεδομένο είναι ότι η $\angle BOM=\vartheta$ και πράγματι ισχύει ότι το είναι εκεί που είναι όταν η $\angle \vartheta$ οξεία αλλά δεν είναι το εκεί που ήταν στο σχήμα της οξείας όταν η $\vartheta =\pi /2$ ή όταν η $\angle \vartheta$ είναι αμβλεία.

Edit: Αν το υποχρεωτικά είναι το μέσο της δεν υπάρχει αμφιβολία ότι το θέμα είναι λάθος και συμφωνώ με όλα τα προηγούμενα σχόλια.

Κατ' αρχάς επειδή βρισκόμαστε σε "φάκελο καθηγητή", υποθέτω ότι είσαι συνάδελφος. Ας έρθουμε τώρα στο ρόλο του σημείου

. Αν το

δεν είναι σημείο της BC,

τότε η εκφώνηση θα έδινε ότι είναι ένα σημείο του επιπέδου ώστε $\displaystyle B\widehat OM = \theta.$ Τότε όμως παρουσιάζονται τα εξής προβλήματα:

1) Με ποια λογική το

ανήκει στην

όταν η $\theta$ είναι οξεία, ενώ όταν είναι αμβλεία βρίσκεται κάπου αλλού; Δηλαδή το

είναι μπαλαντέρ;

2) Τι προσφέρει το στοιχείο $\displaystyle B\widehat OM = \theta$ στη λύση της άσκησης; Τίποτα!

Προφανώς λοιπόν, ο συλλογισμός σου δεν έχει καμία επιστημονική στήριξη.

thodoris_v · #10

Ναι κύριε Βισβίκη έτσι είναι. Δυστυχώς τα πράγματα είναι όπως αναφέρθηκε από εσάς και άλλους συναδέλφους. Δεν γίνεται το

να μην είναι πάνω στη

και στο μέσο σε όλες τις περιπτώσεις. Απλά η προσπάθεια μου ήταν να αποδείξω ότι δεν υπάρχει λάθος γιατί από την αρχή που ένιωσα και εγώ ότι είναι λάθος το θέμα έλεγα δεν μπορεί να έχει κάνει τέτοιο λάθος η επιτροπή. Παρασύρθηκα από αυτό αλλά και επειδή στην περίπτωση της ορθής και αμβλείας μπορούσα να ικανοποιήσω το δεδομένο ότι $\angle BOM=\theta =A$ για κατάλληλη θέση του Μ. Αλλά αυτό θα μπορούσε να γίνει, σωστά, με την διατύπωση που είπατε. Αλλά στην περίπτωση της οξείας δεν μπορείς να αποδείξεις κάτι. Την συμπάθειά σας για την καλοπροαίρετη προσπάθεια μου που μοναδικό στόχο είχε να με πείσει ότι δεν έχει κάνει λάθος η επιτροπή.

#11

painesis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 19, 2020 2:09 pm
Κύριε Λάμπρου, καλησπέρα σας προφανώς στον ισχυρισμό μου υπάρχει το συγκεκριμένο λάθος εσκεμμένα γιατί ήθελα να αποδείξω ότι απορρίπτεται λόγω ενός τυπογραφικού σφάλματος.

Τώρα με μπέρδεψες τελείως. Ας δούμε ένα παράδειγμα με την ίδια λογική.

Δείξε ότι, στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο οι δύο οξείες γωνίες έχουν άθροισμα 90^o

.

Λέμε τώρα (ακολουθώντας την σκέψη σου) ότι το παραπάνω είναι λάθος: Πράγματι, παίρνουμε εσκεμμένα (επαναλαμβάνω, ακολουθώντας την δική σου σκέψη) ένα ορθογώνιο τρίγωνο που το άθροισμα των γωνιών του είναι 170^o

. Αφαιρούμε τις 90^o

της ορθής, οπότε μένουν 170^o-90^o=80^o

για τις άλλες δύο. Δηλαδή δεν είναι

, οπότε το αποδεικτέο είναι λάθος.

Έλεος! Δεν είναι Μαθηματικά αυτά, αλλά κάποιον τέτοιο ακροβατικό συλλογισμό κάνεις.

Ας σημειώσω, ότι το ΘΕΜΑ Γ στις Πανελλαδικές δεν είναι λάθος. Είμαι κατηγορηματικός σε αυτό και αν χρειαστεί, θα επανέλθω. Ουσιαστικά το είπε ο thodoris_v παραπάνω, αλλά υπάρχει και απλούστερος τρόπος να το δούμε.

painesis · #12

Ίσως δεν καταλάβατε τον συλλογισμό μου, και να οφείλεται στα άλματα σκέψης που έκανα. Συγκεκριμένα, ένα τυπογραφικό λάθος ότι η γωνία Β είναι ορθή με οδήγησε σε εσφαλμένο συμπέρασμα ότι ένα τρίγωνο στην Ευκλείδεια Γεωμετρία έχει άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο από 2π, Ενώ αν έγραφα σωστά ότι η γωνία Μ είναι ορθή δεν θα υπήρχε λάθος στον συλλογισμό μου.
Αντίστοιχα, η κακή διατύπωση του θέματος ότι ΒΟΜ=θ (άρα ΓΟΜ=θ δηλαδή ΒΟΓ=2θ) οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το τρίγωνο ΒΟΓ έχει άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο από 2π, στην περίπτωση που η γωνία θ είναι αμβλεία.
Τον δικό μου ισχυρισμό τον απορρίψατε γιατί ανέφερα ότι η γωνία Β είναι ορθή (τυπογραφικό λάθος), το ερώτημα είναι με μία κακή διατύπωση που οδηγεί σε παρόμοια λάθη τι πρέπει να γίνει;
Η κακή διατύπωση δεν είναι μόνο στο «και ΒΟΜ=θ», αλλά και στο «όπως φαίνεται στο σχήμα» δηλαδή και αυτή η έκφραση δίνει γωνία θ οξεία.
Προφανώς «κάψανε» ένα κομψό θέμα με λάθος διατυπώσεις. Το σημείο Μ δεν χρειάζεται να ανήκει μόνο στην ευθεία ΒΓ για να είναι σωστό το θέμα αρκεί να βρίσκεται σε τυχαίο σημείο του επιπέδου ή και του χώρου αλλά τότε θα είχε παραπλανητικό χαρακτήρα. Ίσως, αν αναφερόταν ότι το Μ είναι αντιδιαμετρικό του Α και χωρίς την έκφραση «όπως φαίνεται στο σχήμα» να είχαμε μία υπέροχη άσκηση απ’ όλες τις απόψεις.
Τώρα, στο δια ταύτα δεν έχω πρόθεση να δημιουργήσω πρόβλημα στη ροή των εξετάσεων για αυτό αναφέρθηκα στο συγκεκριμένο διαδικτυακό τόπο και όχι αλλού (δεν ξέρω να γράφω με LATEX μιας και η επισκέψεις μου αφορούν κυρίως άρθρα, χωρίς να έχει χρειαστεί να σχολιάσω), γνωρίζοντας ότι εδώ βρίσκονται, πολλοί συντονιστές βαθμολογικών κέντρων, ώστε να δοθεί μία έντιμη λύση στο πρόβλημα που προέκυψε και σε καμία περίπτωση δεν προσπαθώ να κάνω ακροβατικά μαθηματικά.

#13

painesis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 19, 2020 11:25 pm
Τώρα, στο δια ταύτα δεν έχω πρόθεση να δημιουργήσω πρόβλημα στη ροή των εξετάσεων

Πάλι καλά που αναφέρεσαι στα λάθη που έκανες (και δεν είναι μόνο το τυπογραφικό) αλλά αυτά είναι ανθρώπινα. Όμως για να βάζουμε τα πράαγματα στην θέση τους, τι ακριβώς εννοείς όταν λες ότι δεν έχεις πρόθεση να δημιουργήσεις πρόβλημα. Μέχρι τώρα έλεγες ότι το θέμα είναι λάθος (που δεν είναι) και ότι πρέπει να ακυρωθεί. Δεν υπάρχει μεγαλύτερη αναστάτωση σε εισαγωγικές εξετάσεις από αυτό.

Στο επόμενο ποστ μου αναφέρομαι γιατί το θέμα Γ είναι εντάξει.

#14

Διευκρινήσεις για το Θέμα Γ.

Η γωνία

(οξεία ή μη) ονομάστηκε $\theta$ . Κατόπιν σχεδιάστηκε ένα σχήμα μπούσουλας για την λύση όπου η

είναι η περίπτωση της οξείας (ένα από όλα θα ήταν, και ο σχεδιασμός οξείας είναι νόμιμος).

Στο σχήμα φαίνειται και η εξωτερική γωνία του τριγώνου ABO

, η οποία είναι επίσης $\theta$ (θέλει απόδειξη αλλά είναι απλή).

Τονίζω σε αυτό το σημείο ότι δεν πρέπει να ερμηνεύσουμε στο σχήμα ότι η δεύτερη γωνία $\theta$ να είναι εκείνη η οποία σχηματίζεται από τα σημεία B, O

και το μέσον

του $B\Gamma$ . Αυτό δεν προκύπτει από πουθενά, και οδηγεί στην εντύπωση ότι η άσκηση είναι λάθος.

Τώρα, όπως είναι άλλωστε άμεσο, το εμβαδόν του τριγώνου είναι

α) Στην περίπτωση που η

είναι οξεία και άρα έχουμε το σχήμα έτοιμο: $E= \frac {1}{2} AM \cdot B\Gamma = \frac {1}{2}(1+\cos \theta)\sin \theta$ και λοιπά.

β) Στην περίπτωση που η

είναι αμβλεία και άρα πρέπει να φτιάξουμε εμείς την προφανή παραλλαγή του σχήματος, το εμβαδόν είναι $\displaystyle{\frac {1}{2}(1-\cos (\pi - \theta))\sin (\pi - \theta) }$ ίσον ως άνω, και λοιπά.

γ) Στην περίπτωση που η

είναι ορθή: Παραλλαγή επί το ευκολότερον των παραπάνω.

Νομίζω ότι όλα είναι καλά.

Δεν γνωρίζω ποιος ή ποιοι είναι από πίσω από την συγκεκριμένη άσκηση, αλλά την βρίσκω ωραίο θέμα και μέσα στα πλαίσια του ζητούμενου ρόλου της.

#15

$\displaystyle \bullet$ Στο Σχήμα.1 η γωνία $\displaystyle \theta$ είναι οξεία. Το τρίγωνο $\displaystyle OAB$ είναι ισοσκελές κι επειδή $\displaystyle B\widehat OM = \theta,$ το

βρίσκεται στην προέκταση του

, δηλαδή είναι το μέσον του $B\Gamma.$ Μέχρι εδώ, νομίζω ότι συμφωνούμε όλοι.

$\displaystyle \bullet$ Στο Σχήμα.2 η $\displaystyle \theta$ είναι αμβλεία και σύμφωνα με την εκφώνηση το

είναι στη θέση που φαίνεται. Για να πεισθώ ότι, πράγματι, οι θεματοθέτες είχαν αυτό υπόψη τους, πρέπει να μου εξηγήσει κάποιος τα εξής:

: Γ(παλαιό).ΙΙΙ.png (20.05 KiB) Προβλήθηκε 782 φορές

1) Γιατί στην εκφώνηση δεν έγραψαν "…το

είναι ένα σημείο της $B\Gamma,$ ώστε $B\widehat OM = \theta$ ", για να ξεκαθαρίσουν τη θέση τους; Κάτι άλλο λοιπόν πρέπει να είχαν στο μυαλό τους.

2) Γιατί έδωσαν ένα σχήμα με τα σημεία A, O, M

να φαίνονται ότι είναι συνευθειακά, ενώ δεν είναι; (Υπενθυμίζω ότι πρόκειται για θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων και όχι απλώς μία άσκηση από ένα βιβλίο. Οφείλουμε να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί και να δίνουμε σαφείς εκφωνήσεις και όχι σημεία που μπορεί να βρίσκονται κάπου ή κάπου αλλού!)

3) Τι ρόλο παίζει το σημείο

στο Σχήμα.2 και τι προσφέρει στον υπολογισμό του εμβαδού; Προφανώς δεν έχει κανένα λόγο ύπαρξης και δεν εξυπηρετεί πουθενά.

Η άποψή μου; Οι θεματοθέτες σκοπίμως δεν όρισαν το σημείο

επειδή ήθελαν από τους μαθητές να αποδείξουν ότι είναι το μέσο της πλευράς $B\Gamma.$ Τα υπόλοιπα απλά "τούς ξέφυγαν". Το μοιραίο λάθος ήταν το δεδομένο ότι $B\widehat OM = \theta.$ Το σχήμα που δόθηκε (καλοπροαίρετα για να βοηθήσει τους υποψηφίους), είναι απλώς ενδεικτικό και δεν υπάρχει κανένα λάθος σε αυτό. Δυστυχώς, τούς γύρισε μπούμερανγκ.

#16

1. Στην εκφώνηση αναφέρεται ότι «δίνεται το τρίγωνο όπως φαίνεται στο σχήμα». Εκεί φαίνεται ξεκάθαρα ότι το

είναι σημείο της $\displaystyle {\bf{{\rm B}}}\Gamma$ και ότι $\displaystyle \widehat {BOM} = \theta$ . Όμως, μόνο για οξυγώνια τρίγωνα προκύπτει ότι το BOM

είναι ορθογώνιο, ώστε να είναι $\displaystyle {\rm B}{\rm M} = \eta \mu \theta ,\;\;{\rm B}{\rm O} = \sigma \upsilon \nu \theta$ και A, O, M

να είναι συνευθειακά, ώστε AM = AO+OM

, για να προκύψει ο ζητούμενος τύπος του εμβαδού. (Για ορθή γωνία είναι τετριμμένη περίπτωση).

Όταν λοιπόν φτιάξουμε την «προφανή παραλλαγή του σχήματος» για αμβλυγώνιο, δεν υπάρχει σημείο

στη $\displaystyle {\bf{{\rm B}}}\Gamma$ ώστε να ισχύουν τα παραπάνω.. Μάλιστα αν πάρουμε το

ως μέσο της $\displaystyle {\bf{{\rm B}}}\Gamma$ θα είναι $\displaystyle \widehat {BOM} = \pi - \theta$ . Αυτό έρχεται σε αντίφαση με την εκφώνηση,.

2. Επίσης, δεν γνωρίζω τις επίσημες λύσεις της ΚΕΕ, αλλά νομίζω ότι είναι υπερβολικό να ζητάμε από τα παιδιά να διερευνήσουν δίχως σχετική υπόδειξη αυτήν την περίπτωση. Πιστεύω, δηλαδή, ότι δεν το είχαν κατά νου οι θεματοδότες.
Αν αναρτηθούν κάπου οι υποδείξεις στα βαθμολογικά θα το διαπιστώσουμε.

3. Τέλος, ακόμα και στο αρχικό σχήμα (για οξεία γωνία), μπορεί η απόδειξη της συνευθειακότητες των A, O, M

και κατ’ επέκταση το ότι το MOB

είναι ορθογώνιο να είναι απλή, όμως προκαλεί εντύπωση το ότι λύσεις που αναρτήθηκαν δημόσια το παραβλέπουν. Ακόμα και στο σχολικό βιβλίο θεωρείται (;) δεδομένο..
Αυτό ας το εκλάβουμε ως συνέπεια της υποβάθμισης της διδασκαλίας της Γεωμετρίας στα Λύκεια μας: προφορικά εξεταζόμενο στη Β΄Λυκείου, μη διδασκόμενο στη Γ΄ Λυκείου.
Σίγουρα δεν θα απαιτήσουμε από τους μαθητές μας να ανακαλύψουν μόνοι τους αυτό που δεν τους διδάσκουμε όπως πρέπει.
Σίγουρα λοιπόν δεν τίθεται θέμα για τη βαθμολόγηση τν μαθητών, αλλά οφείλουμε ως εκπαιδευτικοί να βγάλουμε συμπεράσματα από το όλο «διδακτικό επεισόδιο» και να διατυπώσουμε με πληρότητα το θέμα.
Γι’ αυτό ΔΕΝ έκανα την ανάρτηση στον αρχικό φάκελο, αλλά σε ειδικό φάκελο.

4. Τα βήματα της λύσης που προτείνει ο Μιχάλης θα ήταν σωστά (κι έτσι το αντιμετωπίζαμε παλαιότερα), αν δεν υπήρχε το ατυχές δεδομένο της εκφώνησης $\displaystyle \widehat {BOM} = \theta$ . Ρωτώ, λοιπόν: Νομιμοποιείται ο λύτης να παραβλέψει την ανυπαρξία τέτοιου σημείου

της $\displaystyle {\bf{{\rm B}}}\Gamma$ και να φτιάξει την «προφανή παραλλαγή του σχήματος» για κάποιο άλλο, όμως, σημείο;

Αν αναρτηθούν οι λύσεις της ΚΕΕ και ταυτίζονται με τη λύση του σχολικού βιβλίου (δίχως την προφανή παραλλαγή), θα μπορούμε να πούμε «όλα καλά»;
Πάντως, προσωπικά, κρίνοντας το στο πλαίσιο που τέθηκε (Θέμα Πανελλαδικών), δεν μπορώ να πώ ότι «όλα είναι καλά», γιατί έχω την εντύπωση ότι μετακυλύω την ευθύνη στον λύτη.

5. Επαναλαμβάνω αυτό που έγραψα παραπάνω:
Αν δεν δινόταν για βοήθεια το σχήμα και το ατυχές δεδομένο και αν (και μόνο αν) διδάσκονταν σε βάθος η Γεωμετρία και η απαραίτητη Τριγωνομετρία, τότε με το Ν. Ημιτόνων στο αρχικό τρίγωνο ο μαθητής θα αποδείκνυε τον τύπο του εμβαδού για οποιαδήποτε γωνία τριγώνου. Τότε θα ήταν όλα καλά, (Άριστα μάλιστα, αν έλειπε και το τεχνητά συγκολημμένο υπαρξιακό ερώτημα από το πολύ όμορφο πρόβλημα μεγιστοποίησης).

edit: Όταν έγραφα (με πολύ αργή σύνδεση και netbook 12ετίας) δεν είχα δει την ανάρτηση του Γιώργου.

Κοιτώντας το δεύτερο σχήμα του Γιώργου προέκυψε μια ιδέα.
Nα αποδειχθεί ότι αν $180^0> \theta > 120^0$ , η

δεν τέμνει σε εσωτερικό της σημείο τη $B\Gamma$ .

thodoris_v · #17

Γειά σας κύριε Βισβίκη. Νομίζω αφού είδα ξανά και την γεωμετρική απόδειξη που έχω κάνει έχω καταλήξει. Το θέμα διατυπώνεται ως εξής:

"Ισοσκελές τρίγωνο ABG

(AB=AG) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο

και ακτίνα 1, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν $\theta$ είναι η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου και $\angle BOM = \theta$ , τότε ... Έχετε δίκιο ότι στο σημείο ακριβώς που λέει η διατύπωση "και $\angle BOM=\theta$ " εκεί είναι που μπερδεύει το πράγμα και δίνεται η εντύπωση ότι αυτή η δεύτερη γωνία $\theta$ που θα λειτουργήσει ως βοηθητική γωνία για την απόδειξη του τύπου του εμβαδού ότι υποχρεωτικά θα πρέπει να είναι ίση με την $\angle BOM$ όπου

επίσης υποχρεωτικά να είναι το μέσον της

και στην περίπτωση που η $A=\theta$ είναι αμβλεία. Όμως δεν είναι έτσι. Επειδή η γωνία

που ονομάζεται $\theta$ είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο με αντίστοιχο τόξο το

και η $\angle BOG$ είναι επίκεντρη στο ίδιο τόξο τελικά η βοηθητική γωνία $\theta$ είναι ίση πάντα με το μισό της επίκεντρης $\angle BOG$ , της κυρτής όταν η Α είναι οξεία και της μη κυρτής όταν η Α είναι αμβλεία. Δηλαδή στο σχήμα που δόθηκε θα μπορούσε το

να ήταν εσωτερικό σημείο του

όπου

το μέσο της

. Δηλαδή το σημαντικό είναι ότι η βοηθητική γωνία $\theta$ υπάρχει στο σχήμα που θα κάνουμε είτε η γωνία

είναι οξεία είτε είναι αμβλεία και είναι ίση αντίστοιχα με το μισό της κυρτής επίκεντρης γωνίας BOG

και με το μισό της μη κυρτής επίκεντρης γωνίας BOG

.

Edit 1: Να προσθέσω όμως στην περίπτωση του σχήματος της οξείας χρειάζεται το

να είναι στο μέσο ή τέλοσπαντων χρειάζεται να υπάρχει σημείο στη

που να αποδειχτεί ότι είναι μέσο ώστε μετά το τρίγωνο BOM

ή όποιο όνομα θέλουμε να βάλουμε στην θέση του

να είναι ορθογώνιο. Αλλιώς δεν βγαίνει η απόδειξη με χρήση της βοηθητικής γωνίας ή να το πώ πιο σωστά εγώ δεν μπόρεσα να το κάνω.

Edit 2: Παρατηρώ ακόμη ότι και στην περίπτωση της αμβλείας όταν κάνουμε ένα σχήμα θα πρέπει να βάλουμε ένα σημείο στην

με κάποιο όνομα που θα προκύψει και αυτό μέσον και θα δημιουργηθεί ορθογώνιο τρίγωνο.

#18

thodoris_v έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 20, 2020 5:05 pm
Γειά σας κύριε Βισβίκη. Νομίζω αφού είδα ξανά και την γεωμετρική απόδειξη που έχω κάνει έχω καταλήξει. Το θέμα διατυπώνεται ως εξής:

"Ισοσκελές τρίγωνο (AB=AG) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο και ακτίνα 1, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν $\theta$ είναι η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου και $\angle BOM = \theta$ , τότε ... Έχετε δίκιο ότι στο σημείο ακριβώς που λέει η διατύπωση "και $\angle BOM=\theta$ " εκεί είναι που μπερδεύει το πράγμα και δίνεται η εντύπωση ότι αυτή η δεύτερη γωνία $\theta$ που θα λειτουργήσει ως βοηθητική γωνία για την απόδειξη του τύπου του εμβαδού ότι υποχρεωτικά θα πρέπει να είναι ίση με την $\angle BOM$ όπου επίσης υποχρεωτικά να είναι το μέσον της και στην περίπτωση που η $A=\theta$ είναι αμβλεία. Όμως δεν είναι έτσι. Επειδή η γωνία που ονομάζεται $\theta$ είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο με αντίστοιχο τόξο το και η $\angle BOG$ είναι επίκεντρη στο ίδιο τόξο τελικά η βοηθητική γωνία $\theta$ είναι ίση πάντα με το μισό της επίκεντρης $\angle BOG$ , της κυρτής όταν η Α είναι οξεία και της μη κυρτής όταν η Α είναι αμβλεία. Δηλαδή στο σχήμα που δόθηκε θα μπορούσε το να ήταν εσωτερικό σημείο του όπου το μέσο της . Δηλαδή το σημαντικό είναι ότι η βοηθητική γωνία $\theta$ υπάρχει στο σχήμα που θα κάνουμε είτε η γωνία είναι οξεία είτε είναι αμβλεία και είναι ίση αντίστοιχα με το μισό της κυρτής επίκεντρης γωνίας και με το μισό της μη κυρτής επίκεντρης γωνίας .

Edit 1: Να προσθέσω όμως στην περίπτωση του σχήματος της οξείας χρειάζεται το να είναι στο μέσο ή τέλοσπαντων χρειάζεται να υπάρχει σημείο στη που να αποδειχτεί ότι είναι μέσο ώστε μετά το τρίγωνο ή όποιο όνομα θέλουμε να βάλουμε στην θέση του να είναι ορθογώνιο. Αλλιώς δεν βγαίνει η απόδειξη με χρήση της βοηθητικής γωνίας ή να το πώ πιο σωστά εγώ δεν μπόρεσα να το κάνω.

Σ' αυτά που γράφεις, νομίζω ότι αν το

είναι το αντιδιαμετρικό του

καλύπτει όλες τις περιπτώσεις, όπως φαίνεται παρακάτω.

: Γ(παλαιό).4.png (28.58 KiB) Προβλήθηκε 714 φορές

thodoris_v · #19

Ναι κυρίε Βισβίκη σωστά. Νομίζω το συμπέρασμα είναι ότι ένα πολύ όμορφο θέμα όπως είχατε σχολιάσει αρχικά και εσείς "χάλασε" (το λιγότερο) από μια κάκιστη διατύπωση. Δεν ξέρω αν μπορούμε να πούμε ότι είναι λάθος αλλά δεν υπάρχει καμια αμφιβολία ότι είναι κακοδιατυπωμένο και ίσως και παραπλανητικό.

thodoris_v · #20

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 20, 2020 5:25 pm

thodoris_v έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 20, 2020 5:05 pm
Γειά σας κύριε Βισβίκη. Νομίζω αφού είδα ξανά και την γεωμετρική απόδειξη που έχω κάνει έχω καταλήξει. Το θέμα διατυπώνεται ως εξής:

"Ισοσκελές τρίγωνο (AB=AG) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο και ακτίνα 1, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν $\theta$ είναι η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου και $\angle BOM = \theta$ , τότε ... Έχετε δίκιο ότι στο σημείο ακριβώς που λέει η διατύπωση "και $\angle BOM=\theta$ " εκεί είναι που μπερδεύει το πράγμα και δίνεται η εντύπωση ότι αυτή η δεύτερη γωνία $\theta$ που θα λειτουργήσει ως βοηθητική γωνία για την απόδειξη του τύπου του εμβαδού ότι υποχρεωτικά θα πρέπει να είναι ίση με την $\angle BOM$ όπου επίσης υποχρεωτικά να είναι το μέσον της και στην περίπτωση που η $A=\theta$ είναι αμβλεία. Όμως δεν είναι έτσι. Επειδή η γωνία που ονομάζεται $\theta$ είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο με αντίστοιχο τόξο το και η $\angle BOG$ είναι επίκεντρη στο ίδιο τόξο τελικά η βοηθητική γωνία $\theta$ είναι ίση πάντα με το μισό της επίκεντρης $\angle BOG$ , της κυρτής όταν η Α είναι οξεία και της μη κυρτής όταν η Α είναι αμβλεία. Δηλαδή στο σχήμα που δόθηκε θα μπορούσε το να ήταν εσωτερικό σημείο του όπου το μέσο της . Δηλαδή το σημαντικό είναι ότι η βοηθητική γωνία $\theta$ υπάρχει στο σχήμα που θα κάνουμε είτε η γωνία είναι οξεία είτε είναι αμβλεία και είναι ίση αντίστοιχα με το μισό της κυρτής επίκεντρης γωνίας και με το μισό της μη κυρτής επίκεντρης γωνίας .

Edit 1: Να προσθέσω όμως στην περίπτωση του σχήματος της οξείας χρειάζεται το να είναι στο μέσο ή τέλοσπαντων χρειάζεται να υπάρχει σημείο στη που να αποδειχτεί ότι είναι μέσο ώστε μετά το τρίγωνο ή όποιο όνομα θέλουμε να βάλουμε στην θέση του να είναι ορθογώνιο. Αλλιώς δεν βγαίνει η απόδειξη με χρήση της βοηθητικής γωνίας ή να το πώ πιο σωστά εγώ δεν μπόρεσα να το κάνω.
Σ' αυτά που γράφεις, νομίζω ότι αν το είναι το αντιδιαμετρικό του καλύπτει όλες τις περιπτώσεις, όπως φαίνεται παρακάτω.

Γ(παλαιό).4.png

Μπράβο κ. Βισβίκη πολύ σωστά. Ωραία ναι, τώρα τα πράγματα είναι ξεκάθαρα.

Edit 1: Μιλάμε τελικά για μια αβλεψία (μικρή τελικά θα έλεγα) από μέρους της επιτροπής στην διατύπωση του θέματος και περισσότερο στο σχήμα που δόθηκε και στην σωστή τοποθέτηση του σημείου

ώστε να μπορεί αυτό χωρίς κάποια παραλλαγή να χρησιμοποιηθεί σε κάθε περίπτωση για την γωνία

.

Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Το Γ θέμα στις εξετάσεις Παλαιού συστήματος είναι λάθος

Re: Το Γ θέμα στις εξετάσεις Παλαιού συστήματος είναι λάθος

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Re: Το Γ θέμα στις εξετάσεις Παλαιού συστήματος είναι λάθος

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Re: Το Γ θέμα στις εξετάσεις Παλαιού συστήματος είναι λάθος

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Μέλη σε σύνδεση