Γενικευμένα διπλά ολοκληρώματα

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3209
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Γενικευμένα διπλά ολοκληρώματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μάιος 13, 2020 11:01 pm

Στα παρακάτω θα είναι

\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}f(x,y)dxdy=\lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int_{\epsilon }^{1-\epsilon }\int_{\epsilon }^{1-\epsilon }f(x,y)dxdy

\displaystyle \zeta (m)=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^m},m\in \mathbb{N},m\geq 2


Επίσης d_{n} είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο
των 1,2,3,......,n

Εστω r,s μη αρνητικοί φυσικοί.

Αν r>s τότε
a)Το \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r}y^{s}}{1-xy}dxdy

είναι ρητός αριθμός που ο παρανομαστής του διαιρεί το d_{r}^2

b)Το \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{(-\ln xy)x^{r}y^{s}}{1-xy}dxdy

είναι ρητός αριθμός που ο παρανομαστής του διαιρεί το d_{r}^3

Αν r=s τότε

c)\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r}y^{r}}{1-xy}dxdy=\zeta (2)-\sum_{k=1}^{r}\frac{1}{k^2}

d)\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{(-\ln xy)x^{r}y^{r}}{1-xy}dxdy=2(\zeta (3)-\sum_{k=1}^{r}\frac{1}{k^3})



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4362
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Γενικευμένα διπλά ολοκληρώματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Μάιος 14, 2020 12:38 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Μάιος 13, 2020 11:01 pm


c)\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r}y^{r}}{1-xy}dxdy=\zeta (2)-\sum_{k=1}^{r}\frac{1}{k^2}

Έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int \limits_{[0, 1]^2} \frac{(xy)^n}{1-xy} \, \mathrm{d}\left ( x, y \right )  &= \int \limits_{[0,1]^2} \left ( xy \right )^n \sum_{m=0}^{\infty} \left ( xy \right )^m \, \mathrm{d}\left ( x, y \right )  \\  
 &=\sum_{m=0}^{\infty} \int \limits_{\left [ 0, 1 \right ]^n} \left (xy  \right )^{m+n} \, \mathrm{d} \left ( x, y \right ) \\  
 &=\sum_{m=0}^{\infty} \left (\int_{0}^{1} x^{m+n} \, \mathrm{d}x  \right )^2 \\  
 &= \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{\left ( m+n+1 \right )^2} \\ 
 &= \sum_{m=n+1}^{\infty} \frac{1}{m^2} \\ 
 &= \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} - \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{m^2} \\ 
 &= \zeta(2) - \mathcal{H}_n^{(2)} 
\end{aligned}}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Μάιος 13, 2020 11:01 pm
d)\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{(-\ln xy)x^{r}y^{r}}{1-xy}dxdy=2(\zeta (3)-\sum_{k=1}^{r}\frac{1}{k^3})

Εντελώς όμοια, έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
-\int \limits_{[0, 1]^2} \frac{\left ( xy \right )^n \ln xy}{1-xy} \, \mathrm{d}(x, y)  &= -\int \limits_{[0, 1]^2} \left ( xy \right )^n \ln xy \sum_{m=0}^{\infty} (xy)^m \, \mathrm{d}(x, y) \\  
 &= -\sum_{m=0}^{\infty} \int \limits_{[0, 1]^2} \left ( xy \right )^{n+m} \ln xy \, \mathrm{d}(x, y) \\  
 &=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{2}{\left ( n+m+1 \right )^3} \\  
 &=2 \sum_{m=n+1}^{\infty} \frac{1}{m^3} \\  
 &= 2 \left ( \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^3} - \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{m^3}  \right )  \\ 
 &= 2 \left ( \zeta(3) - \mathcal{H}_n^{(3)} \right ) 
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες