Σύστημα και μέγιστο

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Σύστημα και μέγιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Οκτ 03, 2019 9:05 pm

Δίνεται ο αριθμός a με a>1 και οι γραμμές με εξισώσεις a\left | x \right |-\left | y \right |=1 και \left | x \right |+a\left | y \right |=a

α) Δείξετε ότι οι γραμμές έχουν τέσσερα κοινά σημεία τα οποία ανήκουν σε σταθερό κύκλο
β) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου που ορίζουν αυτά τα σημεία


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8430
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύστημα και μέγιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 04, 2019 11:32 am

exdx έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 9:05 pm
Δίνεται ο αριθμός a με a>1 και οι γραμμές με εξισώσεις a\left | x \right |-\left | y \right |=1 και \left | x \right |+a\left | y \right |=a

α) Δείξετε ότι οι γραμμές έχουν τέσσερα κοινά σημεία τα οποία ανήκουν σε σταθερό κύκλο
β) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου που ορίζουν αυτά τα σημεία
Καλημέρα Γιώργη!

α) Από τις εξισώσεις παίρνω \displaystyle a|x| - 1 = |y| = \frac{{a - |x|}}{a} \Leftrightarrow |x| = \frac{{2a}}{{{a^2} + 1}} και \displaystyle |y| = \frac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}}

Εύκολα τώρα προκύπτουν 4 λύσεις που ανήκουν στον κύκλο x^2+y^2=1.

β) Το τετράπλευρο που σχηματίζεται είναι ορθογώνιο και το εμβαδόν του μεγιστοποιείται όταν γίνει τετράγωνο,

δηλαδή όταν \displaystyle 2a = {a^2} - 1 \Leftrightarrow a = 1 + \sqrt 2 και το μέγιστο εμβαδόν είναι \boxed{E_{\max } = 2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης