Σύστημα ( II )

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4001
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Σύστημα ( II )

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 01, 2019 11:44 am

Να λυθεί πάνω από το \mathbb{C} το σύστημα:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
a^2+ b^2 & = &7 \\  
a^3 + b^3 & = & \sqrt{23}  
\end{matrix}\right.}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8242
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα ( II )

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Σεπ 03, 2019 9:40 am

Θέτουμε s=a+b και p=ab. Οι δυο εξισώσεις γίνονται s^2-2p = 7 και s^3-3sp = \sqrt{23}. Λύνοντας την πρώτη από αυτές ως προς p και αντικαθιστώντας στη δεύτερη παίρνουμε s^3 - 21s+2\sqrt{23} = 0. Θέτοντας s = t\sqrt{23} καταλήγουμε στη 23t^3 - 21t+2=0. Παρατηρούμε ότι η t=-1 είναι ρίζα αυτής της εξίσωσης οπότε μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε ως 23t^3 - 21t+2 = (t+1)(23t^2 -23t+2) οπότε t = -1 ή t = \frac{23 \pm \sqrt{23  \cdot 15}}{46}.

Αυτό δίνει s = -\sqrt{23} ή s = \frac{\sqrt{23} \pm \sqrt{15}}{2} με τις τιμές του p να είναι 8 και \frac{5 \pm \sqrt{345}}{4}.

Τα a,b είναι ρίζες τις x^2 - sx + p = 0 δηλαδή ισούνται με \frac{s \pm \sqrt{s^2-4p}}{2} = \frac{s \pm \sqrt{7-2p}}{2}. Καταλήγουμε λοιπόν στις εξής λύσεις:

\displaystyle  a= \frac{-\sqrt{23} + 3i}{2}, b= \frac{-\sqrt{23} - 3i}{2}

\displaystyle  a= \frac{\sqrt{23}+\sqrt{15} + i\sqrt{2\sqrt{345}-18}}{4}, \frac{\sqrt{23}+\sqrt{15} - i\sqrt{2\sqrt{345}-18}}{4}

\displaystyle  a= \frac{\sqrt{23}-\sqrt{15} + \sqrt{2\sqrt{345}+18}}{4}, \frac{\sqrt{23}-\sqrt{15} - \sqrt{2\sqrt{345}+18}}{4}

καθώς και οι συμμετρικές τους


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης