Σελίδα 1 από 1
Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 06, 2019 12:07 am
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Re: Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 06, 2019 6:05 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πολλές υπάρχουν.
Εστω
Είναι
![f((-\infty,0 ])=[0,\infty ) f((-\infty,0 ])=[0,\infty )](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c4eefe189ae1c46db9890bd7aadff316.png)
και γνησίως φθίνουσα στο
ενώ στο

είναι γνησίως αύξουσα με
Η

είναι οποιαδήποτε ακολουθία ώστε
i)

ii)
Προφανώς
Το

είναι ο μοναδικός αρνητικός με
Είναι φανερό ότι
Εχουμε ότι
παίρνοντας

έχουμε ότι
Επειδή η παράσταση είναι αρνητική προκύπτει ότι

Re: Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:48 pm
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Σταύρο, σε ευχαριστώ πολύ για τη λύση . Θα εξηγήσω πως προέκυψε το ερώτημα. Ας θυμίσω τη διατύπωση του προβλήματος.
Πρόβλημα 2 (Σαουδική Αραβία)
Έστω

διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί και

θετικός πραγματικός αριθμός. Αν ισχύει ότι

να αποδείξετε ότι

.
Δηλαδή το συμπέρασμα του προβλήματος που ετέθη είναι ότι

Αναρωτήθηκα αν η σταθερά -1 βελτιώνεται. Η απάντηση είναι πως δεν βελτιώνεται. Το δικό μου παράδειγμα προέκυψε ως εξής:
Τα

ικανοποιούν τη σχέση

με

Ψάχνω

κοντά στο μηδέν, π.χ.

(εδώ θα δούλευε κάθε μηδενική και θετική ακολουθία).Τότε

Λύνοντας το σύστημα βρίσκω

και

Προφανώς

Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι

οπότε
