Ακρότατα

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8318
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ακρότατα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Φεβ 13, 2019 11:01 am

Μπορούμε άραγε να βρούμε (χωρίς τη χρήση λογισμικού) τα ακρότατα της συνάρτησης:

f(x) = \sqrt {5 - 4x}  + \sqrt {5 + 2\sqrt {3 - 3{x^2}}  + 2x}  + \sqrt {5 - 2\sqrt {3 - 3{x^2}}  + 2x};



Λέξεις Κλειδιά:
Altrian
Δημοσιεύσεις: 176
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ακρότατα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Σάβ Μαρ 02, 2019 1:55 pm

Γιώργο καλημέρα,

Από την ύπαρξη του \sqrt{3-3x^{2}} έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της f(x) περιορίζεται τουλάχιστο εντός του διαστήματος -1\leq x\leq 1, οπότε w.l.o.g. θέτουμε x=cos(\phi).

Εστω a=\sqrt{5-4x}=\sqrt{5-4cos\phi}=\sqrt{2^{2}+1^{2}-2*1*2*cos\phi}
.
Πρόκειται δηλ. για το μήκος πλευράς τριγώνου απέναντι από γωνία \phi όπου οι άλλες δύο πλευρές που περικλείουν την \phi έχουν μήκη 2 και 1

Εστω b=\sqrt{5+2\sqrt{3}(1-x^{2})+2x}=\sqrt{5+2\sqrt{3}(1-cos^{2}\phi)+2cos\phi}=\sqrt{5+2\sqrt{3}sin\phi+2cos\phi}.

Εφαρμόζοντας τον τύπο: xsinc+ycosc=\sqrt{x^{2}+y^{2}}sin(c+\theta), cos\theta=x/\sqrt{x^{2}+y^{2}}, sin\theta=y/\sqrt{x^{2}+y^{2}}
και με απλούς μετασχηματισμούς για να έχουμε συνημίτονο με αρνητικό πρόσημο παίρνουμε:

b=\sqrt{5-4cos(120+\phi)}=\sqrt{2^{2}+1^{2}-2*1*2cos(120+\phi)}.

Πρόκειται δηλ. για το μήκος πλευράς τριγώνου απέναντι από γωνία 120+\phi, όπου οι άλλες δύο πλευρές που περικλείουν την 120+\phi έχουν μήκη 2 και 1

Ομοίως: c=\sqrt{5-2\sqrt{3}(1-x^{2})+2x}=\sqrt{5-4cos(120-\phi)}=\sqrt{2^{2}+1^{2}-2*1*2*cos(120-\phi)}
Πρόκειται δηλ. για το μήκος πλευράς τριγώνου απέναντι από γωνία 120-\phi, όπου οι άλλες δύο πλευρές που περικλείουν την 120-\phi έχουν μήκη 2 και 1.

Τα ανωτέρω τρία τρίγωνα συναρμολογούμενα ως puzzle δημιουργούν το επισυναπτόμενο σχήμα με f(x)=a+b+c

Δηλαδή ζητάμε την ελάχιστη και μέγιστη τιμή του αθροίσματος των αποστάσεων του σημείου S ο οποίος κινείται σε κύκλο ακτίνας 1 που είναι ο έγκυκλος ισόπλευρου τριγώνου ύψους 3 και πλευράς 2\sqrt{3}

Τα ακρότατα λαμβάνονται για τις θέσεις N,M και συγκεκριμένα:

Η μέγιστη τιμή λαμβάνεται για S=M και τότε a=3, b=c=\sqrt{3}\Rightarrow f_{max}=3+2\sqrt{3}

Η ελάχιστη τιμή λαμβάνεται για S=N και τότε a=1, b=c=\sqrt{7}\Rightarrow f_{min}=1+2\sqrt{7}

Αρα μπορούμε να βρούμε τα ακρότατα χωρίς την χρήση λογισμικού.
Συνημμένα
akrotata.png
akrotata.png (33.77 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8318
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ακρότατα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 02, 2019 5:55 pm

Altrian έγραψε:
Σάβ Μαρ 02, 2019 1:55 pm
Γιώργο καλημέρα,

Από την ύπαρξη του \sqrt{3-3x^{2}} έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της f(x) περιορίζεται τουλάχιστο εντός του διαστήματος -1\leq x\leq 1, οπότε w.l.o.g. θέτουμε x=cos(\phi).

Εστω a=\sqrt{5-4x}=\sqrt{5-4cos\phi}=\sqrt{2^{2}+1^{2}-2*1*2*cos\phi}
.
Πρόκειται δηλ. για το μήκος πλευράς τριγώνου απέναντι από γωνία \phi όπου οι άλλες δύο πλευρές που περικλείουν την \phi έχουν μήκη 2 και 1

Εστω b=\sqrt{5+2\sqrt{3}(1-x^{2})+2x}=\sqrt{5+2\sqrt{3}(1-cos^{2}\phi)+2cos\phi}=\sqrt{5+2\sqrt{3}sin\phi+2cos\phi}.

Εφαρμόζοντας τον τύπο: xsinc+ycosc=\sqrt{x^{2}+y^{2}}sin(c+\theta), cos\theta=x/\sqrt{x^{2}+y^{2}}, sin\theta=y/\sqrt{x^{2}+y^{2}}
και με απλούς μετασχηματισμούς για να έχουμε συνημίτονο με αρνητικό πρόσημο παίρνουμε:

b=\sqrt{5-4cos(120+\phi)}=\sqrt{2^{2}+1^{2}-2*1*2cos(120+\phi)}.

Πρόκειται δηλ. για το μήκος πλευράς τριγώνου απέναντι από γωνία 120+\phi, όπου οι άλλες δύο πλευρές που περικλείουν την 120+\phi έχουν μήκη 2 και 1

Ομοίως: c=\sqrt{5-2\sqrt{3}(1-x^{2})+2x}=\sqrt{5-4cos(120-\phi)}=\sqrt{2^{2}+1^{2}-2*1*2*cos(120-\phi)}
Πρόκειται δηλ. για το μήκος πλευράς τριγώνου απέναντι από γωνία 120-\phi, όπου οι άλλες δύο πλευρές που περικλείουν την 120-\phi έχουν μήκη 2 και 1.

Τα ανωτέρω τρία τρίγωνα συναρμολογούμενα ως puzzle δημιουργούν το επισυναπτόμενο σχήμα με f(x)=a+b+c

Δηλαδή ζητάμε την ελάχιστη και μέγιστη τιμή του αθροίσματος των αποστάσεων του σημείου S ο οποίος κινείται σε κύκλο ακτίνας 1 που είναι ο έγκυκλος ισόπλευρου τριγώνου ύψους 3 και πλευράς 2\sqrt{3}

Τα ακρότατα λαμβάνονται για τις θέσεις N,M και συγκεκριμένα:

Η μέγιστη τιμή λαμβάνεται για S=M και τότε a=3, b=c=\sqrt{3}\Rightarrow f_{max}=3+2\sqrt{3}

Η ελάχιστη τιμή λαμβάνεται για S=N και τότε a=1, b=c=\sqrt{7}\Rightarrow f_{min}=1+2\sqrt{7}

Αρα μπορούμε να βρούμε τα ακρότατα χωρίς την χρήση λογισμικού.

Σ' ευχαριστώ πολύ Αλέξανδρε για τη λύση. Έπεσες διάνα! :10sta10:

Στην ουσία αυτό ακριβώς είχα υπόψη μου, ορμώμενος από τη λύση του Γιώργου Ρίζου σ' αυτό το θέμα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες