Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6169
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Ιαν 03, 2019 8:10 pm

Να βρεθεί η βέλτιστη σταθερά \displaystyle{k,} ώστε να ισχύει

\displaystyle{\frac{\delta _{a}+\delta _{b}}{a+b}<k}

για κάθε τρίγωνο \displaystyle{ABC.}

Με \displaystyle{\delta _{x}} συμβολίζουμε τη διχοτόμο του τριγώνου, η οποία αντιστοιχεί στην πλευρά \displaystyle{x}.


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Ιαν 05, 2019 11:40 am

Μια προσπάθεια χωρίς να είμαι σίγουρος πως βρήκα την ελάχιστη λύση

Από θεώρημμα διχοτόμων το δεξί μέλος γράφεται \frac{\sqrt{cb(\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{(b+c)^{2}})}+\sqrt{ca(\frac{(a+c)^{2}-b^{2}}{(a+c)^{2}})}}{a+b}\leq\frac{\sqrt{\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{4}}+\sqrt{\frac{(a+c)^{2}-b^{2}}{4}}}{a+b} (i) χρεισιμοποιόντας την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ.

a=x+y,b=y+z,c=z+x

έχουμε \sqrt{(b+c)^{2}-a^{2}}=\sqrt{(b+c-a)(b+c+a)}=\sqrt{4z(x+y+z)}\leq 2z+x+y ξανά από την ίδια ανισότητα ομοίως \sqrt{(a+c)^{2}-b^{2}}\leq y+z+2x kai επείσης a+b=2y+z+x

(i)\leq \frac{2y+3x+3z}{4y+2z+2x}=1+\frac{-2y+x+z}{4y+2z+2x}

Θα βρούμε το μέγιστο ελάχιστο n ώστε για κάθε θετικό x,y,z να ισχύει -2y+x+z\leq n(4y+2z+2x)\Leftrightarrow 0\leq (n4+2)y+(2n-1)x+(2n-1)z. Αφού ο μόνος περιορισμούς που έχουμε είναι x,y,z> 0 θα πρέπει και οι συντελεστεές τους να είναι θετικοί άρα n> \frac{1}{2}
και το ελάχιστο k που βρείκα είναι k=1+n\approx\frac{3}{2}
τελευταία επεξεργασία από Xriiiiistos σε Σάβ Ιαν 05, 2019 10:46 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6169
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Ιαν 05, 2019 1:36 pm

Η σταθερά \displaystyle{\frac{3}{2}} δεν είναι η βέλτιστη. Υπάρχει λίγο περιθώριο ακόμα.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8211
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Ιαν 06, 2019 11:52 am

Γνωρίζουμε ότι

\displaystyle  \delta_a^2 = \frac{bc}{(b+c)^2}\left((b+c)^2 - a^2\right) = bc\left(1 - \frac{a^2}{(b+c)^2} \right) <  b(a+bb)\left(1 - \frac{a^2}{(a+2b)^2} \right) = 4\frac{b^2(a+b)^2}{(a+2b)^2}

Άρα

\displaystyle  \delta_a + \delta_b < 2\left( \frac{b}{a+2b} + \frac{a}{b+2a}\right) \leqslant \frac{4}{3}

Για να δούμε την τελευταία ανισότητα παρατηρούμε ότι

\displaystyle  \begin{aligned} 
\frac{b}{a+2b} + \frac{a}{b+2a}\leqslant \frac{2}{3} &\Leftrightarrow 3(a^2 + b^2 + 4ab) \leqslant 2(2a^2 + 2b^2 + 5ab) \\ 
&\Leftrightarrow 2ab \leqslant a^2+b^2 
\end{aligned}

To k = 4/3 δεν βελτιώνεται. Πράγματι αν πάρουμε ένα τρίγωνο με a=b=1 και c = 2-\varepsilon τότε το \displaystyle \frac{\delta_a + \delta_b}{a+b} τείνει στο 4/3 όταν το \varepsilon τείνει στο 0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης