Σύστημα 2x6

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6182
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Σύστημα 2x6

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Ιαν 03, 2019 4:22 pm

Να λυθεί

\displaystyle{\begin{cases}ace=bde+adf+bcf, \\ bdf=acf+ade+bce \end{cases}}.


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5359
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα 2x6

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Ιαν 03, 2019 7:02 pm

Απλά και μόνο μία σκέψη που πιστεύω ότι οδηγεί σε διερευνητική λύση, εκτός εάν υπάρχει κάποιο «τέχνασμα» που απλοποιεί τα πράγματα.

Σίγουρα ξεκινάμε από υποθέσεις για τους έξι αγνώστους ως προς την ισότητα τους με το μηδέν για καθένα από αυτούς, είτε για δύο κτλ., κυκλικά και παίρνουμε άποψη.
Για παράδειγμα μία λύση είναι η \left( {0,0,0,0,0,0} \right). Στη περίπτωση τώρα που όλοι είναι διάφοροι του μηδέν διαιρώντας τη πρώτη με το γινόμενο του πρώτου μέλους και την δεύτερη με το γινόμενο του πρώτου μέλους καταλήγουμε σε επίλυση συστήματος του τύπου: \sum : \left\{ {xy + yz + zx = 1\; \wedge \;\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} = 1} \right\}, αρκεί να έχουμε θεωρήσει \displaystyle{x = \frac{b}{a},\;y = \frac{d}{c},\;z = \frac{f}{e}.} Αν τώρα διαιρέσουμε την πρώτη από τις εξισώσεις του \sum , π.χ. με \displaystyle{zx,} τότε έχουμε \displaystyle{\frac{1}{{zx}} = 1 + \frac{y}{z} + \frac{y}{x}.} Αντικαθιστούμε στην δεύτερη των εξισώσεων του \sum , οπότε μετά από κάποιες πράξεις προκύπτει \displaystyle{\left( {y + \frac{1}{y}} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{z}} \right) = 0,} κτλ., κτλ.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3927
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα 2x6

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Ιαν 04, 2019 2:45 am

Το σύστημα γράφεται

\begin{cases} (ac-bd)e=(ad+bc)f \ \ (1) \\ -(ac-bd)f=(ad+bc)e \ \ (2) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (ac-bd)ef=(ad+bc)f^2 \\ -(ac-bd)ef=(ad+bc)e^2 \end{cases} και οι δύο τελευταίες με πρόσθεση κατά μέλη δίνουν:

(ad+bc)(e^2+f^2)=0.

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

1) Αν e^2+f^2=0 τότε e=f=0 και οι a,b,c,d μπορούν να είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί. Οπότε έχουμε τις λύσεις \boxed{(a,b,c,d,e,f)=(a,b,c,d,0,0)} που επαληθεύουν το αρχικό σύστημα των εξισώσεων.

2) Αν ad+bc=0 τότε από την (1) παίρνουμε (ac-bd)e=0.

2.1) Αν ac-bd=0 τότε από την ταυτότητα Lagrange (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ad+bc)^2+(ac-bd)^2 παίρνουμε είτε a=b=0 (κι έτσι οι c,d αλλά και οι e,f μπορούν να είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί) είτε c=d=0 (κι έτσι οι a,b αλλά και οι e,f μπορούν να είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί) κι έτσι έχουμε τις λύσεις \boxed{(a,b,c,d,e,f)=(0,0,c,d,e,f)} και \boxed{(a,b,c,d,e,f)=(a,b,0,0,e,f)} που επαληθεύουν το αρχικό σύστημα των εξισώσεων.

2.2) Αν e=0 τότε από την (2) παίρνουμε (ac-bd)f=0.

2.2.1) Αν ac-bd=0 τότε όπως στην περίπτωση 2.1 παίρνουμε λύσεις που τις έχουν ήδη καλύψει οι λύσεις της περίπτωσης 2.1

2.2.2) Αν f=0 τότε παίρνουμε λύσεις που ήδη περιλαμβάνονται σε εκείνες της περίπτωσης 1.

Συνεπώς οι λύσεις είναι αυτές που έχουν ήδη γραφτεί παραπάνω και μόνο αυτές.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11743
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύστημα 2x6

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 04, 2019 11:01 am

matha έγραψε:
Πέμ Ιαν 03, 2019 4:22 pm
Να λυθεί

\displaystyle{\begin{cases}ace=bde+adf+bcf, \\ bdf=acf+ade+bce \end{cases}}.
Λίγο πιο απλά. Μειώνουμε την περιπτωσιολογία αλλά δεν την αποφεύγουμε τελείως:

Θεωρούμε το σύστημα ως ομογενές γραμμικό ως προς a,b.

\displaystyle{\begin{cases}a(ce-df) - b(de+cf)=0, \\ a(de+cf) -b(ce-df)=0 \end{cases}}.

H διακρίνουσα είναι D= (ce-df)^2+(de+cf)^2. Aν D\ne 0 έχουμε μοναδική λύση a=b=0, που ικανοποιεί το σύστημα
για οποιεσδήποτε τιμές των c,d,e,f. Άρα λύσεις οι (0,0, c,d,e,f).

Αν D=0, ισοδύναμα (c^2+d^2)(e^2+f^2)=0 έπεται ότι είτε c=d=0 ή e=f=0. Όπως πριν παίρνουμε τις λύσεις (a,b, 0,0,e,f), (a,b,c,d,0,0).


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6182
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Σύστημα 2x6

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Ιαν 04, 2019 3:28 pm

Μετά τις ωραίες απαντήσεις από τους φίλους Σωτήρη, Αλέξανδρο, Μιχάλη, δυο λόγια.

Το σύστημα το κατασκεύασα ως Quickie.

Θεωρούμε τους μιγαδικούς \displaystyle{z_1=a+bi, z_2=c+di, z_3=e+fi.}

Είναι

\displaystyle{z_1z_2z_3=(ace-bde-adf-bcf)+(acf+ade+bce-bdf)i.}

Τότε το σύστημα γράφεται \displaystyle{z_1z_2z_3=0,} οπότε \displaystyle{z_1=0\vee z_2=0\vee z_3=0} άρα \displaystyle{(a=b=0)\vee (c=d=0)\vee (e=f=0).}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης