Η συνάρτηση - απόσταση

KARKAR · #1

: Συνάρτηση απόσταση.png (5.43 KiB) Προβλήθηκε 1056 φορές

Δύο ομόρροπες ημιευθείες βρίσκονται σε απόσταση μιας μονάδας . Σημείο

εκκινώντας από τη θέση

κινείται "ανατολικά " . Μας ενδιαφέρει η

συμπεριφορά ( μελέτη) της συνάρτησης απόσταση : $d(x)=\sqrt{x^2+1} , x>0$ .

Είναι d(x)>0

, συνεπώς έχουμε μόνο θετικές τιμές ( αναμενόμενο )

Επίσης : $d'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{χ^2+1}}\geq 0$ , άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ( προφανές )

Ακόμη : $d''(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}>0$ , επομένως η συνάρτηση είναι κυρτή .

Τέλος : $d'''(x)=-\dfrac{3x}{(x^2+1)^{\frac{5}{2}}}\leq 0$ . Τι σημαίνει όμως αυτό ; Φανερό είναι

ότι η d''

είναι γνησίως φθίνουσα . Το μεταφράζω ότι η κυρτότητα της συνάρτησης

συνεχώς μειώνεται , δηλαδή η καμπύλη $C_{d}$ τείνει να γίνει ευθεία .

: Συνάρτηση απόσταση b.png (6.78 KiB) Προβλήθηκε 1056 φορές

Η συνέχεια του θέματος : 1) Να αναδείξουμε την χρησιμότητα της χρήσης της τρίτης

παραγώγου στην μορφή της καμπύλης και 2) Να δούμε τη συμπεριφορά της

συνάρτησης - απόσταση και σε άλλες περιπτώσεις . Ιδού η δεύτερη :

: Συνάρτηση απόσταση c.png (9.56 KiB) Προβλήθηκε 1056 φορές

Σημείο

κινείται "ανατολικά" στο μοναδιαίο ημικύκλιο . Μελετήστε την d(x)

#2

Καλησπέρα σε όλους. Επιχειρώ μια προσέγγιση:

: Συνάρτηση απόσταση c.png (9.56 KiB) Προβλήθηκε 995 φορές

Το

είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα AB = 2

.

Τότε $\displaystyle A{S^2} = AS' \cdot AB \Leftrightarrow {\left[ {d\left( x \right)} \right]^2} = 2x,\;\;\;x \in \left[ {0,2} \right]$ .

Αφού η d(x)

είναι συνεχής και θετική, θα είναι $\displaystyle d:\;\left[ {0,2} \right] \to \left[ {0,\;2} \right],\;\;d\left( x \right) = \sqrt {2x}$ .

Είναι $\displaystyle d'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {2x} }},\;\;\;d''\left( x \right) = - \frac{1}{{4\sqrt {2{x^3}} }},\;\;\;{d^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = \frac{3}{{8\sqrt {2{x^5}} }}$ .

Είναι: $\displaystyle d'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {2x} }} > 0\;\forall x \in \left( {0,\;2} \right]$ , άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Ακόμη : $\displaystyle d''\left( x \right) = - \frac{1}{{4\sqrt {2{x^3}} }} < 0\;\;\forall x \in \left( {0,\;2} \right]$ , επομένως η συνάρτηση είναι κοίλη .

Τέλος : $\displaystyle {d^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = \frac{3}{{8\sqrt {2{x^5}} }} > 0\;\;\forall x \in \left( {0,\;2} \right]$ , οπότε η $\displaystyle d''$ είναι γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών $\displaystyle \left( { - \infty ,\; - \frac{1}{4}} \right]$ .

Νομίζω ότι εδώ, επειδή το σύνολο τιμών της d(x)

είναι φραγμένο δεν έχουμε κάποιο αξιοσημείωτο συμπέρασμα.

Αν μελετήσουμε την $\displaystyle f:\left[ {0,\; + \infty } \right) \to \left[ {0,\; + \infty } \right),\;\;\;f\left( x \right) = \sqrt x$ , τότε

$\displaystyle {f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = \frac{3}{{8\sqrt {{x^5}} }} > 0\;\;\forall x \in \left( {0,\; + \infty } \right)$ , οπότε η $\displaystyle f''$ είναι γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών $\displaystyle \left( { - \infty ,\;0} \right]$ . Αυτό σημαίνει ότι η καμπυλότητά της τείνει στο

, καθόσον αυξάνει το , οπότε τείνει να μετατραπεί σε ευθεία.

Το ίδιο παρατηρούμε, βεβαίως, και μέσω της κλίσης της εφαπτομένης (

) της

που είναι $\displaystyle {\lambda _e} = \frac{1}{{2\sqrt x }}$ , που τείνει στο

, όταν το

τείνει στο $\displaystyle + \infty$ .

edit: Ο Θανάσης έχει δίκιο στην παρακάτω ανάρτηση. Μπορεί η εφαπτόμενη της $\displaystyle y = \sqrt x$ να τείνει να γίνει οριζόντια, όπως και της $\displaystyle y=lnx$ ή της $\displaystyle y = e^x$ κατακόρυφη, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι οι καμπύλες εκφυλίζονται σε ευθείες.

KARKAR · #3

Γιώργο , σκέφτομαι , ότι κάτι δεν πάει καλά . Η υπερβολές , όπως και η $\sqrt{x^2+1}$ έχουν

ασύμπτωτη στο $+\infty$ . Οι παραβολές όμως , όπως και $\sqrt{2x}$

, δεν έχουν .

Δηλαδή η κυρτότητά ( κοιλότητά ) τους , παρότι μειώνεται , οι γραφικές τους παραστάσεις

δεν τείνουν να γίνουν ευθείες . Ίσως χρειαζόμαστε και άλλα εργαλεία

Η συνάρτηση - απόσταση

Η συνάρτηση - απόσταση

Re: Η συνάρτηση - απόσταση

Re: Η συνάρτηση - απόσταση

Μέλη σε σύνδεση