Η συνάρτηση - απόσταση

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9984
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η συνάρτηση - απόσταση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 22, 2018 7:50 am

Συνάρτηση  απόσταση.png
Συνάρτηση απόσταση.png (5.43 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές
Δύο ομόρροπες ημιευθείες βρίσκονται σε απόσταση μιας μονάδας . Σημείο S

εκκινώντας από τη θέση A κινείται "ανατολικά " . Μας ενδιαφέρει η

συμπεριφορά ( μελέτη) της συνάρτησης απόσταση : d(x)=\sqrt{x^2+1} , x>0 .

Είναι d(x)>0 , συνεπώς έχουμε μόνο θετικές τιμές ( αναμενόμενο )

Επίσης : d'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{χ^2+1}}\geq 0 , άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ( προφανές )

Ακόμη : d''(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}>0 , επομένως η συνάρτηση είναι κυρτή .

Τέλος : d'''(x)=-\dfrac{3x}{(x^2+1)^{\frac{5}{2}}}\leq 0 . Τι σημαίνει όμως αυτό ; Φανερό είναι

ότι η d'' είναι γνησίως φθίνουσα . Το μεταφράζω ότι η κυρτότητα της συνάρτησης

συνεχώς μειώνεται , δηλαδή η καμπύλη C_{d} τείνει να γίνει ευθεία .
Συνάρτηση  απόσταση b.png
Συνάρτηση απόσταση b.png (6.78 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές
Η συνέχεια του θέματος : 1) Να αναδείξουμε την χρησιμότητα της χρήσης της τρίτης

παραγώγου στην μορφή της καμπύλης και 2) Να δούμε τη συμπεριφορά της

συνάρτησης - απόσταση και σε άλλες περιπτώσεις . Ιδού η δεύτερη :
Συνάρτηση  απόσταση c.png
Συνάρτηση απόσταση c.png (9.56 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές
Σημείο κινείται "ανατολικά" στο μοναδιαίο ημικύκλιο . Μελετήστε την d(x)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4125
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Η συνάρτηση - απόσταση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Απρ 22, 2018 9:02 pm

Καλησπέρα σε όλους. Επιχειρώ μια προσέγγιση:

Συνάρτηση  απόσταση c.png
Συνάρτηση απόσταση c.png (9.56 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές


Το ASB είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα AB = 2.

Τότε  \displaystyle A{S^2} = AS' \cdot AB \Leftrightarrow {\left[ {d\left( x \right)} \right]^2} = 2x,\;\;\;x \in \left[ {0,2} \right] .

Αφού η d(x) είναι συνεχής και θετική, θα είναι  \displaystyle d:\;\left[ {0,2} \right] \to \left[ {0,\;2} \right],\;\;d\left( x \right) = \sqrt {2x} .

Είναι  \displaystyle d'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {2x} }},\;\;\;d''\left( x \right) =  - \frac{1}{{4\sqrt {2{x^3}} }},\;\;\;{d^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = \frac{3}{{8\sqrt {2{x^5}} }} .

Είναι:  \displaystyle d'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {2x} }} > 0\;\forall x \in \left( {0,\;2} \right] , άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Ακόμη :  \displaystyle d''\left( x \right) =  - \frac{1}{{4\sqrt {2{x^3}} }} < 0\;\;\forall x \in \left( {0,\;2} \right] , επομένως η συνάρτηση είναι κοίλη .

Τέλος :  \displaystyle {d^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = \frac{3}{{8\sqrt {2{x^5}} }} > 0\;\;\forall x \in \left( {0,\;2} \right] , οπότε η  \displaystyle d'' είναι γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών  \displaystyle \left( { - \infty ,\; - \frac{1}{4}} \right] .

Νομίζω ότι εδώ, επειδή το σύνολο τιμών της d(x) είναι φραγμένο δεν έχουμε κάποιο αξιοσημείωτο συμπέρασμα.

Αν μελετήσουμε την  \displaystyle f:\left[ {0,\; + \infty } \right) \to \left[ {0,\; + \infty } \right),\;\;\;f\left( x \right) = \sqrt x , τότε

 \displaystyle {f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = \frac{3}{{8\sqrt {{x^5}} }} > 0\;\;\forall x \in \left( {0,\; + \infty } \right) , οπότε η  \displaystyle f'' είναι γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών  \displaystyle \left( { - \infty ,\;0} \right] . Αυτό σημαίνει ότι η καμπυλότητά της τείνει στο 0, καθόσον αυξάνει το x, οπότε τείνει να μετατραπεί σε ευθεία.

Το ίδιο παρατηρούμε, βεβαίως, και μέσω της κλίσης της εφαπτομένης (e) της C_f που είναι  \displaystyle {\lambda _e} = \frac{1}{{2\sqrt x }} , που τείνει στο 0, όταν το χ τείνει στο  \displaystyle  + \infty .

edit: Ο Θανάσης έχει δίκιο στην παρακάτω ανάρτηση. Μπορεί η εφαπτόμενη της  \displaystyle y = \sqrt x να τείνει να γίνει οριζόντια, όπως και της  \displaystyle y=lnx ή της  \displaystyle y = e^x κατακόρυφη, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι οι καμπύλες εκφυλίζονται σε ευθείες.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Δευ Απρ 23, 2018 12:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9984
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Η συνάρτηση - απόσταση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 22, 2018 9:46 pm

Γιώργο , σκέφτομαι , ότι κάτι δεν πάει καλά . Η υπερβολές , όπως και η \sqrt{x^2+1} έχουν

ασύμπτωτη στο +\infty . Οι παραβολές όμως , όπως και \sqrt{2x} , δεν έχουν .

Δηλαδή η κυρτότητά ( κοιλότητά ) τους , παρότι μειώνεται , οι γραφικές τους παραστάσεις

δεν τείνουν να γίνουν ευθείες . Ίσως χρειαζόμαστε και άλλα εργαλεία :?:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης