Γενίκευση ανισότητας

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2022
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Γενίκευση ανισότητας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Οκτ 16, 2017 9:51 am

Με αφορμή το
viewtopic.php?f=95&t=59428

Εστω p> 1 και n\geq 2

Αν x_{i}\geq 0,x_{1}^{p}\geq x_{2}^{p}+x_{3}^{p}+...x_{n}^{p}

και y_{i}\geq 0,y_{1}^{p}\geq y_{2}^{p}+y_{3}^{p}+...y_{n}^{p}

τότε

((x_{1}+y_{1})^{p}-(x_{2}+y_{2})^{p}-(x_{3}+y_{3})^{p}...-(x_{n}+y_{n})^{p})^{\frac{1}{p}}\geq (x_{1}^{p}-x_{2}^{p}-x_{3}^{p}...-x_{n}^{p})^{\frac{1}{p}}+(y_{1}^{p}-y_{2}^{p}-y_{3}^{p}...-y_{n}^{p})^{\frac{1}{p}}



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2022
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Γενίκευση ανισότητας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 24, 2017 2:24 pm

Επαναφορά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2022
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Γενίκευση ανισότητας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Νοέμ 08, 2017 11:14 pm

Συμβολισμός \tilde{x}=(x_{1},x_{2},...x_{n})

Θεωρούμε τα υποσύνολα του \mathbb{R}^{n}

A=\left \{ \tilde{x}: x_{i}\geq 0,x_{1}^{p}-x_{2}^{p}...-x_{n}^{p}\geq 0 \right \}

και S=\left \{ \tilde{z}:z_{i}\geq 0,z_{1}\geq 1,(z_{2}^{q}+...z_{n}^{q})\leq z_{1}^{q}-1 \right \}

Οπου \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1

Είναι φανερό απο Minkowski ότι \tilde{x},\tilde{y}\in A\Rightarrow \tilde{x}+\tilde{y}\in A

Αν θέσουμε f:A\rightarrow \mathbb{R}
με f(\tilde{x})=(x_{1}^{p}-x_{2}^{p}-...x_{n}^{p})^{\frac{1}{p}}

θέλουμε να αποδείξουμε ότι

f(\tilde{x}+\tilde{y})\geq f(\tilde{x})+ f(\tilde{y})

Το κλειδί της απόδειξης είναι ότι:f(\tilde{x})=min(x_{1}z_{1}-(x_{2}z_{2}+....+x_{n}z_{n}):\tilde{z}\in S)(1)

Από Holder έχουμε ότι
(x_{1}^{p}-x_{2}^{p}-....-x_{n}^{p})^{\frac{1}{p}}.1+x_{2}z_{2}+....+x_{n}z_{n}\leq x_{1}(1+z_{2}^{q}+...z_{n}^{q})^{\frac{1}{q}}\leq x_{1}z_{1}

Μπορούμε να διαλέξουμε το \tilde{z}\in S

ώστε να έχουμε ισότητα στην παραπάνω.

Πρώτα διαλέγουμε τα z_{2},..z_{n} ώστε να έχουμε ισότητα στην Holder και μετά το z_{1}

Αποδείξαμε την (1)

Ετσι f(\tilde{x}+\tilde{y})=(x_{1}+y_{1})z_{1}-(x_{2}+y_{2})z_{2}-....-(x_{n}+y_{n})z_{n}=
=x_{1}z_{1}-x_{2}z_{2}-....-
x_{n}z_{n}+y_{1}z_{1}-y_{2}z_{2}-....-y_{n}z_{n}\geq f(\tilde{x})+f(\tilde{y})

(αφού έχουμε min αυτό πιάνεται)

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης