Ισότητα με αρμονικό

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3537
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Ισότητα με αρμονικό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Οκτ 13, 2017 11:03 pm

Κάτι εύκολο ....

Αποδείξατε ότι:
\displaystyle{\mathcal{S}_n = \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{\displaystyle \sum_{\ell=1}^{m} \frac{1}{\displaystyle \sum_{k=1}^{\ell} k}} = \frac{n + \mathcal{H}_n}{2}} όπου \mathcal{H}_n ο n - οστός αρμονικός όρος. Στη συνέχεια δείξατε ότι \mathcal{S}_{2017} > 1011.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10481
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισότητα με αρμονικό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Οκτ 14, 2017 1:02 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Οκτ 13, 2017 11:03 pm
Αποδείξατε ότι:
\displaystyle{\mathcal{S}_n = \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{\displaystyle \sum_{\ell=1}^{m} \frac{1}{\displaystyle \sum_{k=1}^{\ell} k}} = \frac{n + \mathcal{H}_n}{2}} όπου \mathcal{H}_n ο n - οστός αρμονικός όρος. Στη συνέχεια δείξατε ότι \mathcal{S}_{2017} > 1011.
Το τρίτο άθροισμα είναι ίσο με \frac {1}{2} l(l+1), που σημαίνει ότι το δεύτερο άθροισμα αθροίζει όρους της μορφής

\displaystyle{ \frac {2}{l(l+1)}= \frac {2}{l}-\frac {2}{l+1}}.

Τηλεσκοπικά ισούται \displaystyle{\frac {2m}{m+1}}.

Άρα το εξωτερικό άθροισμα αθροίζει (n το πλήθος) όρους της μορφής \displaystyle{\frac {m+1}{2m}= \frac {1}{2} + \frac {1}{2m}}. To ζητούμενο είναι τώρα άμεσο.

Για το τελευταίο ερώτημα θέλουμε, ισοδύναμα από το προηγούμενο, \mathcal{H}_{2017} > 5. Αυτό ισχύει και με πολύ περίσσευμα αφού \mathcal{H}_{2017} > \mathcal{H}_{200} > \ln 200 > \ln 2,8^5 > \ln e^5=5.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης