Ανισότητα

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1439
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τρί Αύγ 01, 2017 6:08 pm

Έστω x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3\in\(0,+\infty) με x_i\geq y_i για i=1,2,3. Να αποδείξετε ότι

\displaystyle{\sqrt[3]{(x_1+x_2+x_3)^3-(y_1+y_2+y_3)^3}\geq\sqrt[3]{x_1^3-y_1^3}+\sqrt[3]{x_2^3-y_2^3}+\sqrt[3]{x_3^3-y_3^3}}


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 07, 2017 8:52 pm

Επαναφορά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2002
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 08, 2017 11:56 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Τρί Αύγ 01, 2017 6:08 pm
Έστω x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3\in\(0,+\infty) με x_i\geq y_i για i=1,2,3. Να αποδείξετε ότι

\displaystyle{\sqrt[3]{(x_1+x_2+x_3)^3-(y_1+y_2+y_3)^3}\geq\sqrt[3]{x_1^3-y_1^3}+\sqrt[3]{x_2^3-y_2^3}+\sqrt[3]{x_3^3-y_3^3}}
Είναι σαφές ότι αρκεί να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\sqrt[3]{(x_1+x_2)^3-(y_1+y_2)^3}\geq\sqrt[3]{x_1^3-y_1^3}+\sqrt[3]{x_2^3-y_2^3}}

Επίσης ότι ισχύει για οποιοδήποτε πλήθος από (x_{i},y_{i}).
(επαγωγική απόδειξη).

Η ανισότητα είναι γνωστή και γενικότερα ισχύει για p>1 αντί του 3.

Δίνω την παραπομπή.
Beckenbach-Bellman Inequalities σελ38 theorem 19.
http://www.isinj.com/mt-usamo/Inequalit ... 201961.pdf

Ισως επειδή εδώ έχουμε ειδική περίπτωση να υπάρχει ευκολότερη λύση.
Το αφήνω προς το παρόν


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1439
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τετ Οκτ 11, 2017 4:18 pm

Όπως εξηγεί ο Σταύρος είναι αρκετό να αποδείξουμε το παρακάτω:

Λήμμα Αν a,b,c,d\in (0,+\infty) με a\geq b και c\geq d τότε \displaystyle{\sqrt[3]{(a+c)^3-(b+d)^3}\geq\sqrt[3]{a^3-b^3}+\sqrt[3]{c^3-d^3}}

Αν a=b τότε απλουστεύεται η απόδειξη. Για τη συνέχεια υποθέτουμε ότι a>b.
Μελετάμε τη συνάρτησηf(x)=\sqrt[3]{(a+x)^3-(b+d)^3}-\sqrt[3]{a^3-b^3}-\sqrt[3]{x^3-d^3} στο [d,+\infty).
Είναι f'(x)=\left (\dfrac{a+x}{\sqrt[3]{(a+x)^3-(b+d)^3}} \right )^2-\left (\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^3-d^3}} \right )^2
Εύκολα βρίσκουμε ότι
f'(x)<0\Leftrightarrow x\in(d,\dfrac{ad}{b})
f'(x)>0\Leftrightarrow x\in(\dfrac{ad}{b},+\infty)
Επομένως η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x=\dfrac{ad}{b}.
Όμως f\left ( \dfrac{ad}{b} \right )=0, άρα και f(c)\geq 0.

Η ιδέα είναι παρμένη από άρθρο του \rm Marcel \rm Chirit\breve{a} στο \rm {Gazeta \ Matematic\breve{a}}, τεύχος 1, 2007.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1183
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τετ Οκτ 11, 2017 8:15 pm

Νομίζω μπορούμε και λίγο πιο άμεσα. Αλλάζω λίγο το συμβολισμό για δική μου ευκολία πληκτρολόγησης.
Από Minkowski
\displaystyle \begin{aligned} 
&\left( {\sqrt[3]{{x^3 }} + \sqrt[3]{{y^3 }} + \sqrt[3]{{z^3 }}} \right)^3  + \left( {\sqrt[3]{{a^3  - x^3 }} + \sqrt[3]{{b^3  - y^3 }} + \sqrt[3]{{c^3  - z^3 }}} \right)^3\\ 
\leqslant & \left( {\sqrt[3]{{a^3 }} + \sqrt[3]{{b^3 }} + \sqrt[3]{{c^3 }}} \right)^3 ,\end{aligned}
οπότε
\displaystyle  
(a + b + c)^3  - (x + y + z)^3  \geqslant \left( {\sqrt[3]{{a^3  - x^3 }} + \sqrt[3]{{b^3  - y^3 }} + \sqrt[3]{{c^3  - z^3 }}} \right)^3 .


Σιλουανός Μπραζιτίκος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2002
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 12, 2017 1:03 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Οκτ 08, 2017 11:56 pm


Δίνω την παραπομπή.
Beckenbach-Bellman Inequalities σελ38 theorem 19.
http://www.isinj.com/mt-usamo/Inequalit ... 201961.pdf

Ισως επειδή εδώ έχουμε ειδική περίπτωση να υπάρχει ευκολότερη λύση.
Το αφήνω προς το παρόν

Οντως η λύση του Σιλουανού είναι η απλούστερη δυνατή.(κατά την γνώμη μου)

Να σημειώσω ότι στην παραπομπή υπάρχουν τυπογραφικά.
Θα δώσω την απόδειξη αργότερα γιατί η μέθοδος έχει ενδιαφέρον.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης