ΜΕΙΩΣΗ ΕΛΞΗΣ 2 ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΤΑΝ ΠΛΗΣΙΑΖΟΥΝ

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ
Δημοσιεύσεις: 23
Εγγραφή: Τρί Απρ 25, 2017 7:15 pm

ΜΕΙΩΣΗ ΕΛΞΗΣ 2 ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΤΑΝ ΠΛΗΣΙΑΖΟΥΝ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ » Δευ Μάιος 22, 2017 7:39 pm

Να ορισθεί μία διάταξη 2 σωμάτων όπου από κάποια συγκεκριμένη μεταξύ τους απόσταση και όσο μικραίνει αυτή, η ελκτική δύναμη μεταξύ τους να μικραίνει επίσης παρόλο ότι ισχύει ο νόμος της παγκόσμιας έλξης. Στη συνέχεια να προσδιορισθεί το μέγιστο της ελκτικής δύναμης και η συγκεκριμένη απόσταση όπου πραγματοποιείται αυτή. Μετά από την απόσταση αυτή όσο απομακρύνονται τα 2 σώματα μειώνεται η μεταξύ τους ελκτική δύναμη.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1803
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: ΜΕΙΩΣΗ ΕΛΞΗΣ 2 ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΤΑΝ ΠΛΗΣΙΑΖΟΥΝ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Μάιος 22, 2017 8:51 pm

Να πούμε δύο ομογενή ομοαξονικά κυλινδρικά δακτυλίδια που η εσωτερική ακτίνα του ενός να είναι μεγαλύτερη από την εξωτερική ακτίνα του άλλου, ώστε το δεύτερο να διέρχεται στο εσωτερικό του πρώτου;;


ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ
Δημοσιεύσεις: 23
Εγγραφή: Τρί Απρ 25, 2017 7:15 pm

Re: ΜΕΙΩΣΗ ΕΛΞΗΣ 2 ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΤΑΝ ΠΛΗΣΙΑΖΟΥΝ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ » Σάβ Μαρ 09, 2019 1:03 pm

TOROIDAL.png
TOROIDAL.png (10.89 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές
Παραθέτω τη λύση του προβλήματος όπως την σκέφτηκα
Το ζητούμενο του προβλήματος για μείωση της ελκτικής δύναμης όταν πλησιάζουν
τα 2 σώματα επιτυγχάνεται όταν το ένα έχει σχήμα toroidal Τr όπου η μάζα
της ύλης του είναι ομοιόμορφα γραμμικά κατανεμημένη επί περιφερείας κύκλου.
και το άλλο είναι θεωρητικά σημείο με συγκεντρωμένη τη μάζα του m στο Κ.Β. του
To m κινείται επί του άξονα συμμετρίας του Τr τον Α'Α και ζητείται η μελέτη
των δυνάμεων που ασκούνται επ αυτού κατά την κίνησή του

Eιναι προφανές ότι λόγω συμμετρίας, ότι ισχύει για τα αντιδιαμετρικά σημεία Μn
& Mo θα ισχύει και για το ολοκλήρωμα των Fi όλων των υλικών σημείων του toroidal
Αρα αρκεί η μελέτη της δύναμης F που ασκείται από τα 2 αυτά σημεία
Το μέτρο της F είναι συνεχής συνάρτηση της απόστασης z . Επειδή τόσο
στο κέντρο του toroidal όσο και στο άπειρο η F είναι μηδέν, έπεται ότι θα εμφανίζει
μέγιστο κάπου ενδιάμεσα. Ζητείται η θέση της μεγίστης F.
Είναι : F/2=F_1\cos\varphi=F_2\cos\varphi .
Βάσει του νόμου της παγκόσμιας έλξης είναι:
F=\dfrac{2g\,M_n\,m\,\cos\varphi}{R^2} αλλά R=\dfrac{r}{\sin\varphi }

F=\dfrac{2g\,M_n\,m\,\sin^2\varphi\, \cos\varphi}{r^2}=\dfrac{2g\,M_n\,m\, \cos\varphi\,(1-\cos^2\varphi)}{r^2}

Η F έχει ακρότατο όταν η f(\varphi) = \cos\varphi\,(1-\cos^2\varphi) = \cos\varphi - \cos^3\varphi έχει ακρότατο.

Παραγωγίζοντας έχουμε f'(\varphi) =-\sin\varphi+3 \cos^2\varphi\,\sin\varphi=\sin\varphi (2-3\sin^2\varphi) .

Αυτό μηδενίζεται για \varphi=0 ή για \varphi=\arcsin\sqrt{\frac{2}{3}}=54,7375 μοιρες.

Ακολουθεί η γραφική παράσταση του μέτρου της F συναρτήσει της z για r=1
και η θέση του σημείου καμπής της καμπύλης

Για να βρούμε και το σημείο καμπής της καμπύλης μηδενίζουμε και
τη δεύτερη παράγωγο f'(\varphi) =\cos\varphi (2-9\sin^2\varphi)
Αυτή μηδενίζεται για \varphi=90 ή για \varphi=\arcsin\frac{\sqrt{2}}{3} = 0,4908827 \; rad = 28,1255 μοιρες.
Το αντίστοιχο z = 1/\tan\varphi = 1,870829
Συνημμένα
TOROIDAL ΘΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ.png
TOROIDAL ΘΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ.png (44.13 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές
τελευταία επεξεργασία από grigkost σε Κυρ Μαρ 10, 2019 5:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: μετατροπή τύπων σε LaTeX


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης