ΜΕΙΩΣΗ ΕΛΞΗΣ 2 ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΤΑΝ ΠΛΗΣΙΑΖΟΥΝ

ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ · #1

Να ορισθεί μία διάταξη 2 σωμάτων όπου από κάποια συγκεκριμένη μεταξύ τους απόσταση και όσο μικραίνει αυτή, η ελκτική δύναμη μεταξύ τους να μικραίνει επίσης παρόλο ότι ισχύει ο νόμος της παγκόσμιας έλξης. Στη συνέχεια να προσδιορισθεί το μέγιστο της ελκτικής δύναμης και η συγκεκριμένη απόσταση όπου πραγματοποιείται αυτή. Μετά από την απόσταση αυτή όσο απομακρύνονται τα 2 σώματα μειώνεται η μεταξύ τους ελκτική δύναμη.

#2

Να πούμε δύο ομογενή ομοαξονικά κυλινδρικά δακτυλίδια που η εσωτερική ακτίνα του ενός να είναι μεγαλύτερη από την εξωτερική ακτίνα του άλλου, ώστε το δεύτερο να διέρχεται στο εσωτερικό του πρώτου;;

ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ · #3

: TOROIDAL.png (10.89 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές

Παραθέτω τη λύση του προβλήματος όπως την σκέφτηκα
Το ζητούμενο του προβλήματος για μείωση της ελκτικής δύναμης όταν πλησιάζουν
τα 2 σώματα επιτυγχάνεται όταν το ένα έχει σχήμα toroidal Τr όπου η μάζα
της ύλης του είναι ομοιόμορφα γραμμικά κατανεμημένη επί περιφερείας κύκλου.
και το άλλο είναι θεωρητικά σημείο με συγκεντρωμένη τη μάζα του m στο Κ.Β. του
To m κινείται επί του άξονα συμμετρίας του Τr τον Α'Α και ζητείται η μελέτη
των δυνάμεων που ασκούνται επ αυτού κατά την κίνησή του

Eιναι προφανές ότι λόγω συμμετρίας, ότι ισχύει για τα αντιδιαμετρικά σημεία Μn
& Mo θα ισχύει και για το ολοκλήρωμα των Fi όλων των υλικών σημείων του toroidal
Αρα αρκεί η μελέτη της δύναμης F που ασκείται από τα 2 αυτά σημεία
Το μέτρο της F είναι συνεχής συνάρτηση της απόστασης z . Επειδή τόσο
στο κέντρο του toroidal όσο και στο άπειρο η F είναι μηδέν, έπεται ότι θα εμφανίζει
μέγιστο κάπου ενδιάμεσα. Ζητείται η θέση της μεγίστης F.
Είναι : $F/2=F_1\cos\varphi=F_2\cos\varphi$ .
Βάσει του νόμου της παγκόσμιας έλξης είναι:
$F=\dfrac{2g\,M_n\,m\,\cos\varphi}{R^2}$ αλλά $R=\dfrac{r}{\sin\varphi }$

$F=\dfrac{2g\,M_n\,m\,\sin^2\varphi\, \cos\varphi}{r^2}=\dfrac{2g\,M_n\,m\, \cos\varphi\,(1-\cos^2\varphi)}{r^2}$

Η

έχει ακρότατο όταν η $f(\varphi) = \cos\varphi\,(1-\cos^2\varphi) = \cos\varphi - \cos^3\varphi$ έχει ακρότατο.

Παραγωγίζοντας έχουμε $f'(\varphi) =-\sin\varphi+3 \cos^2\varphi\,\sin\varphi=\sin\varphi (2-3\sin^2\varphi)$ .

Αυτό μηδενίζεται για $\varphi=0$ ή για $\varphi=\arcsin\sqrt{\frac{2}{3}}=54,7375$ μοιρες.

Ακολουθεί η γραφική παράσταση του μέτρου της

συναρτήσει της

για

και η θέση του σημείου καμπής της καμπύλης

Για να βρούμε και το σημείο καμπής της καμπύλης μηδενίζουμε και
τη δεύτερη παράγωγο $f'(\varphi) =\cos\varphi (2-9\sin^2\varphi)$
Αυτή μηδενίζεται για $\varphi=90$ ή για $\varphi=\arcsin\frac{\sqrt{2}}{3} = 0,4908827 \; rad = 28,1255$ μοιρες.
Το αντίστοιχο $z = 1/\tan\varphi = 1,870829$

ΜΕΙΩΣΗ ΕΛΞΗΣ 2 ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΤΑΝ ΠΛΗΣΙΑΖΟΥΝ

ΜΕΙΩΣΗ ΕΛΞΗΣ 2 ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΤΑΝ ΠΛΗΣΙΑΖΟΥΝ

Re: ΜΕΙΩΣΗ ΕΛΞΗΣ 2 ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΤΑΝ ΠΛΗΣΙΑΖΟΥΝ

Re: ΜΕΙΩΣΗ ΕΛΞΗΣ 2 ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΤΑΝ ΠΛΗΣΙΑΖΟΥΝ

Μέλη σε σύνδεση