Ανισότητα Jordan (Michael)

Λάμπρος Μπαλός · #1

Δείξτε ότι :

$500 ln \frac {\pi}{3}>23$

Δίνεται.. $\pi = 3,1415$

#2

$\displaystyle{\ln \frac{\pi}{3}=\ln \pi -\ln 3=\int_{3}^{\pi}\frac{1}{x}dx>(\pi -3)\frac{2}{\pi +3},}$

οπότε αρκεί

$\displaystyle{(\pi -3)\frac{2}{\pi +3}>\frac{23}{500},}$

δηλαδή

$\displaystyle{\pi >\frac{3069}{977}\approx 3,14125,}$

που ισχύει.

#3

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Δείξτε ότι :

$500 ln \frac {\pi}{3}>23$

Δίνεται.. $\pi = 3,1415$

Θα χρησιμοποιήσουμε τις $3,1415 < \pi < 3,1416$

Έχουμε $\boxed {\ln (1+x) \ge x -\frac {x^2}{2}, \, x\ge 0}$ .

Για απόδειξη, παρατηρούμε ότι αν $f(x)= \ln (1+x) -x +\frac {x^2}{2}$ τότε $f'(x) = \frac {1}{1+x}-1+x = \frac {x^2}{1+x} \ge 0$ (αύξουσα). Άρα για $x\ge 0$ έχουμε $f(x)\ge f(0)=0$ , που ισοδυναμεί με το αποδεικτέο.

Οπότε

$\ln \frac {\pi}{3} = \ln (1 + \frac {\pi -3}{3} ) \ge \frac {\pi -3}{3} - \frac {(\pi -3)^2}{18}$

$> \frac {3,1415 -3}{3} - \frac {(3,1416 -3)^2}{18} \approx 0, 046052 > 0,046=\frac {23}{500}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Ανισότητα Jordan (Michael)

Ανισότητα Jordan (Michael)

Re: Ανισότητα Jordan (Michael)

Re: Ανισότητα Jordan (Michael)

Μέλη σε σύνδεση