Λόγος μη ... εκφωνηθείς

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12313
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Λόγος μη ... εκφωνηθείς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 03, 2014 12:50 pm

Λόγος ...  μη  εκφωνηθείς.png
Λόγος ... μη εκφωνηθείς.png (8.79 KiB) Προβλήθηκε 1090 φορές
Το σημείο S κινείται στο εσωτερικό ημικύκλιο και η εφαπτομένη σ'αυτό τέμνει το εξωτερικό ημικύκλιο στα P,Q .

Δείξτε ότι ο λόγος \displaystyle \frac{SP}{SQ} παραμένει ίδιος , είτε αν το P συμπέσει με το A , είτε το Q συμπέσει με το B .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή αυτού του λόγου ( επιτρέπεται η χρήση λογισμικού )


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Λόγος μη ... εκφωνηθείς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Απρ 09, 2014 4:29 am

Για το πρώτο ερώτημα η απάντηση είναι \displaystyle\frac{5}{3} και προκύπτει εύκολα από όμοια τρίγωνα, βλέπε συνημμένο.

Το δεύτερο ερώτημα θέλει δουλειά: θέτοντας A=(-4,0), B=(4,0), S=(x_0, y_0) η εφαπτομένη στο S έχει εξίσωση y-y_0=\displaystyle\frac{1-x_0}{y_0}(x-x_0), οπότε σε συνδυασμό με την x^2+y^2=16 βρίσκουμε ότι οι τετμημένες των P, Q είναι οι ρίζες της δευτεροβαθμίου

4x^2+2(3-2x_0-x_0^2)x-39-26x_0+17x_0^2=0,

επομένως

P=(\displaystyle\frac{x_0^2+2x_0-3-\sqrt{x_0^4+4x_0^3-70x_0^2+92x_0+165}}{4},\sqrt{16-\displaystyle\frac{(x_0^2+2x_0-3-\sqrt{x_0^4+4x_0^3-70x_0^2+92x_0+165})^2}{16}})

και

Q=(\displaystyle\frac{x_0^2+2x_0-3+\sqrt{x_0^4+4x_0^3-70x_0^2+92x_0+165}}{4},\sqrt{16-\displaystyle\frac{(x_0^2+2x_0-3+\sqrt{x_0^4+4x_0^3-70x_0^2+92x_0+165})^2}{16}}).

Από εδώ και πέρα εύκολα βρίσκουμε ότι το μέγιστο του λόγου \displaystyle\frac{|PS|}{|QS|} δίνεται από την εντολή (WolframAlpha)

MAXIMIZE (((x-(x^2+2x-3-(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)/4)^2+(((3+2x-x^2)^.5)-((16-((x^2+2x-3-(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)^2)/16)^.5))^2)^.5)/(((x-(x^2+2x-3+(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)/4)^2+(((3+2x-x^2)^.5)-((16-((x^2+2x-3+(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)^2)/16)^.5))^2)^.5) FOR 1/5<=x<=7/3

Η παραπάνω εντολή ... δεν χωράει στο WolframAlpha, οπότε παρακαλώ όποιον διαθέτει πρόσβαση στο κατάλληλο λογισμικό να κάνει τον υπολογισμό :shock:

[Τα όρια \displaystyle\frac{1}{5} και \displaystyle\frac{7}{3} βρέθηκαν θέτοντας x=4 και x=-4 στην δευτεροβάθμιο, οπότε προκύπτουν αντίστοιχα οι εξισώσεις (3x_0-7)^2=0 και (5x_0-1)^2=0. Η ορθότητα αριθμητή και παρονομαστή στον παραπάνω τύπο έχει ελεγχθεί θέτοντας x=\displaystyle\frac{1}{5}, οπότε |PS|\approx4,58258, |QS|\approx2,74955, \displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}\approx\frac{5}{3}, και x=\displaystyle\frac{7}{3}, οπότε |PS|\approx3,72678, |QS|\approx2,23607, \displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}\approx\frac{5}{3} :D ]

Γιώργος Μπαλόγλου
Συνημμένα
πεντετριτα.png
πεντετριτα.png (28.29 KiB) Προβλήθηκε 941 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Λόγος μη ... εκφωνηθείς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Απρ 11, 2014 9:06 am

gbaloglou έγραψε:Από εδώ και πέρα εύκολα βρίσκουμε ότι το μέγιστο του λόγου \displaystyle\frac{|PS|}{|QS|} δίνεται από την εντολή (WolframAlpha)

MAXIMIZE (((x-(x^2+2x-3-(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)/4)^2+(((3+2x-x^2)^.5)-((16-((x^2+2x-3-(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)^2)/16)^.5))^2)^.5)/(((x-(x^2+2x-3+(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)/4)^2+(((3+2x-x^2)^.5)-((16-((x^2+2x-3+(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)^2)/16)^.5))^2)^.5) FOR 1/5<=x<=7/3

Η παραπάνω εντολή ... δεν χωράει στο WolframAlpha, οπότε παρακαλώ όποιον διαθέτει πρόσβαση στο κατάλληλο λογισμικό να κάνει τον υπολογισμό :shock:

[Τα όρια \displaystyle\frac{1}{5} και \displaystyle\frac{7}{3} βρέθηκαν θέτοντας x=4 και x=-4 στην δευτεροβάθμιο, οπότε προκύπτουν αντίστοιχα οι εξισώσεις (3x_0-7)^2=0 και (5x_0-1)^2=0. Η ορθότητα αριθμητή και παρονομαστή στον παραπάνω τύπο έχει ελεγχθεί θέτοντας x=\displaystyle\frac{1}{5}, οπότε |PS|\approx4,58258, |QS|\approx2,74955, \displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}\approx\frac{5}{3}, και x=\displaystyle\frac{7}{3}, οπότε |PS|\approx3,72678, |QS|\approx2,23607, \displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}\approx\frac{5}{3} :D ]
Εξακολουθώ να αναζητώ εθελοντή με βαρβάτο λογισμικό για εκτέλεση της παραπάνω εντολής -- το μέγιστο υπολογίζω να είναι κοντά στο 1,85. (Ήδη στο σχήμα του Θανάση ο λόγος υπερβαίνει το 1,8.)

Γιώργος Μπαλόγλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Λόγος μη ... εκφωνηθείς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Απρ 25, 2014 11:35 am

Σύμφωνα με την καταπληκτική δουλειά του Στάθη Κούτρα εδώ, ο λόγος μεγιστοποιείται περίπου -- αν όχι ακριβώς ;) -- στο σημείο που υποδεικνύει στο αρχικό σχήμα ο KARKAR: η πρόταση του Στάθη είναι ότι ο λόγος μεγιστοποιείται στο σημείο επαφής της εφαπτομένης από το T=AB\cap KL στο εσωτερικό ημικύκλιο, βλέπε συνημμένο! (Όπως με ενημερώνει ο Στάθης, πρόκειται προς το παρόν για εικασία, αλλά μάλλον ισχύει -- μία έξοχη πραγματικά σύλληψη και μετατροπή ενός υπολογιστικού προβλήματος σε γεωμετρικό :clap2: :clap2: )

Θα υποθέσω τώρα ότι αληθεύει η εικασία του Στάθη για να εκφωνήσω επιτέλους τον λόγο του Θανάση με βάση τους παραπάνω υπολογισμούς μου:

Θέτοντας x_0=\displaystyle\frac{1}{5} και x_0=\displaystyle\frac{7}{3} λαμβάνουμε αντίστοιχα -- βλέπε συνημμένο -- K=(\displaystyle\frac{68}{25},\frac{16\sqrt{21}}{25}) και L=(-\displaystyle\frac{4}{9},\frac{16\sqrt{5}}{9}), οπότε εύκολα (WolframAlpha) έχουμε T=(\displaystyle\frac{4(17\sqrt{5}+\sqrt{21})}{25\sqrt{5}-9\sqrt{21}},0)\approx(11,6235,0).

Η εξίσωση της εφαπτομένης του ημικυκλίου (x-1)^2+y^2=4, y-y_0=\displaystyle\frac{1-x_0}{y_0}(x-x_0) με y_0=\sqrt{3+2x_0-x_0^2}, δίνει, για x=\displaystyle\frac{4(17\sqrt{5}+\sqrt{21})}{25\sqrt{5}-9\sqrt{21}} και y=0 (συντεταγμένες του T), x_0=\displaystyle\frac{x+3}{x-1}=\displaystyle\frac{143\sqrt{5}-23\sqrt{21}}{43\sqrt{5}+13\sqrt{21}}\approx1,37652 -- πολύ πολύ κοντά στην τετμημένη του σημείου S του Θανάση!

Θέτοντας τώρα x=1,37652 στον αριθμητή και στον παρονομαστή του τύπου, το WolframAlpha δίνει |PS|\approx4,33048 και |QS|\approx2,36624, οπότε \displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}\approx1,83011.

Γιώργος Μπαλόγλου
Συνημμένα
κούτρας.png
κούτρας.png (31.59 KiB) Προβλήθηκε 634 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Λόγος μη ... εκφωνηθείς

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Μάιος 08, 2014 3:04 pm

Τριγωνομετρική επίλυση του προβλήματος από τον Γιώργο Τσίντσιφα:

Από

\displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}=\frac{|PQ|/2+|TS|}{|PQ|/2-|TS|}=\frac{|PQ|/2+|OK|cos\theta}{|PQ|/2-|OK|cos\theta}

και

|PQ|^2/4=|PT|^2=|OP|^2-|OT|^2=|OP|^2-(|KS|+|OK|sin\theta)^2

λαμβάνουμε (για |OK|=1, |OP|=4, |KS|=2)

\displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}=\frac{\sqrt{16-(2+sin\theta)^2}+cos\theta}{\sqrt{16-(2+sin\theta)^2}-cos\theta}.

(Ας επισημανθεί εδώ ότι η γωνία \theta μεταβάλλεται από -arccos(4/5)\approx-0,41 (θέση A) έως arccos(2/3)\approx0,73 (θέση B).)

Έχοντας πλέον εκφράσει τον ζητούμενο λόγο ως συνάρτηση μιας μεταβλητής, ο μηδενισμός της αντίστοιχης παραγώγου οδηγεί στην δευτεροβάθμιο

2sin^2\theta+11sin\theta+2=0,

με μόνη αποδεκτή ρίζα την sin\theta=\displaystyle\frac{\sqrt{105}-11}{4}\approx-0,18826: εύκολα πλέον βρίσκουμε ότι η ζητούμενη μέγιστη τιμή ισούται προς περίπου 1,830109, επαληθεύοντας την γεωμετρική εικασία του Στάθη Κούτρα (εδώ).

Εκ μέρους του Γιώργου Τσίντσιφα,

Γιώργος Μπαλόγλου
Συνημμένα
tsintrig.png
tsintrig.png (25.86 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12313
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Λόγος μη ... εκφωνηθείς

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 22, 2021 7:17 pm

Γι αυτούς που ασχολήθηκαν με το θέμα "Εκκεντρότητα" , βρήκα μιαν ανάρτηση του που είναι

ακριβώς με τα ίδια νούμερα , οπότε την διαγράφω ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης