Λόγος μη ... εκφωνηθείς

KARKAR · #1

: Λόγος ... μη εκφωνηθείς.png (8.79 KiB) Προβλήθηκε 1090 φορές

Το σημείο

κινείται στο εσωτερικό ημικύκλιο και η εφαπτομένη σ'αυτό τέμνει το εξωτερικό ημικύκλιο στα P,Q

.

Δείξτε ότι ο λόγος $\displaystyle \frac{SP}{SQ}$ παραμένει ίδιος , είτε αν το

συμπέσει με το

, είτε το

συμπέσει με το

.

Βρείτε τη μέγιστη τιμή αυτού του λόγου ( επιτρέπεται η χρήση λογισμικού )

#2

Για το πρώτο ερώτημα η απάντηση είναι $\displaystyle\frac{5}{3}$ και προκύπτει εύκολα από όμοια τρίγωνα, βλέπε συνημμένο.

Το δεύτερο ερώτημα θέλει δουλειά: θέτοντας A=(-4,0), B=(4,0), S=(x_0, y_0)

η εφαπτομένη στο

έχει εξίσωση $y-y_0=\displaystyle\frac{1-x_0}{y_0}(x-x_0)$ , οπότε σε συνδυασμό με την x^2+y^2=16

βρίσκουμε ότι οι τετμημένες των

,

είναι οι ρίζες της δευτεροβαθμίου

4x^2+2(3-2x_0-x_0^2)x-39-26x_0+17x_0^2=0,

επομένως

$P=(\displaystyle\frac{x_0^2+2x_0-3-\sqrt{x_0^4+4x_0^3-70x_0^2+92x_0+165}}{4},\sqrt{16-\displaystyle\frac{(x_0^2+2x_0-3-\sqrt{x_0^4+4x_0^3-70x_0^2+92x_0+165})^2}{16}})$

και

$Q=(\displaystyle\frac{x_0^2+2x_0-3+\sqrt{x_0^4+4x_0^3-70x_0^2+92x_0+165}}{4},\sqrt{16-\displaystyle\frac{(x_0^2+2x_0-3+\sqrt{x_0^4+4x_0^3-70x_0^2+92x_0+165})^2}{16}}).$

Από εδώ και πέρα εύκολα βρίσκουμε ότι το μέγιστο του λόγου $\displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}$ δίνεται από την εντολή (WolframAlpha)

MAXIMIZE (((x-(x^2+2x-3-(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)/4)^2+(((3+2x-x^2)^.5)-((16-((x^2+2x-3-(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)^2)/16)^.5))^2)^.5)/(((x-(x^2+2x-3+(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)/4)^2+(((3+2x-x^2)^.5)-((16-((x^2+2x-3+(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)^2)/16)^.5))^2)^.5) FOR 1/5<=x<=7/3

Η παραπάνω εντολή ... δεν χωράει στο WolframAlpha, οπότε παρακαλώ όποιον διαθέτει πρόσβαση στο κατάλληλο λογισμικό να κάνει τον υπολογισμό

[Τα όρια $\displaystyle\frac{1}{5}$ και $\displaystyle\frac{7}{3}$ βρέθηκαν θέτοντας x=4

και

στην δευτεροβάθμιο, οπότε προκύπτουν αντίστοιχα οι εξισώσεις (3x_0-7)^2=0

και

. Η ορθότητα αριθμητή και παρονομαστή στον παραπάνω τύπο έχει ελεγχθεί θέτοντας $x=\displaystyle\frac{1}{5}$ , οπότε $|PS|\approx4,58258, |QS|\approx2,74955, \displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}\approx\frac{5}{3}$ , και $x=\displaystyle\frac{7}{3}$ , οπότε $|PS|\approx3,72678, |QS|\approx2,23607, \displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}\approx\frac{5}{3}$

]

Γιώργος Μπαλόγλου

#3

gbaloglou έγραψε:Από εδώ και πέρα εύκολα βρίσκουμε ότι το μέγιστο του λόγου $\displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}$ δίνεται από την εντολή (WolframAlpha)

MAXIMIZE (((x-(x^2+2x-3-(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)/4)^2+(((3+2x-x^2)^.5)-((16-((x^2+2x-3-(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)^2)/16)^.5))^2)^.5)/(((x-(x^2+2x-3+(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)/4)^2+(((3+2x-x^2)^.5)-((16-((x^2+2x-3+(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)^2)/16)^.5))^2)^.5) FOR 1/5<=x<=7/3

Η παραπάνω εντολή ... δεν χωράει στο WolframAlpha, οπότε παρακαλώ όποιον διαθέτει πρόσβαση στο κατάλληλο λογισμικό να κάνει τον υπολογισμό

[Τα όρια $\displaystyle\frac{1}{5}$ και $\displaystyle\frac{7}{3}$ βρέθηκαν θέτοντας και στην δευτεροβάθμιο, οπότε προκύπτουν αντίστοιχα οι εξισώσεις και . Η ορθότητα αριθμητή και παρονομαστή στον παραπάνω τύπο έχει ελεγχθεί θέτοντας $x=\displaystyle\frac{1}{5}$ , οπότε $|PS|\approx4,58258, |QS|\approx2,74955, \displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}\approx\frac{5}{3}$ , και $x=\displaystyle\frac{7}{3}$ , οπότε $|PS|\approx3,72678, |QS|\approx2,23607, \displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}\approx\frac{5}{3}$ ]

Εξακολουθώ να αναζητώ εθελοντή με βαρβάτο λογισμικό για εκτέλεση της παραπάνω εντολής -- το μέγιστο υπολογίζω να είναι κοντά στο 1,85

. (Ήδη στο σχήμα του Θανάση ο λόγος υπερβαίνει το 1,8

.)

Γιώργος Μπαλόγλου

#4

Σύμφωνα με την καταπληκτική δουλειά του Στάθη Κούτρα εδώ, ο λόγος μεγιστοποιείται περίπου -- αν όχι ακριβώς

-- στο σημείο που υποδεικνύει στο αρχικό σχήμα ο KARKAR: η πρόταση του Στάθη είναι ότι ο λόγος μεγιστοποιείται στο σημείο επαφής της εφαπτομένης από το $T=AB\cap KL$ στο εσωτερικό ημικύκλιο, βλέπε συνημμένο! (Όπως με ενημερώνει ο Στάθης, πρόκειται προς το παρόν για εικασία, αλλά μάλλον ισχύει -- μία έξοχη πραγματικά σύλληψη και μετατροπή ενός υπολογιστικού προβλήματος σε γεωμετρικό

)

Θα υποθέσω τώρα ότι αληθεύει η εικασία του Στάθη για να εκφωνήσω επιτέλους τον λόγο του Θανάση με βάση τους παραπάνω υπολογισμούς μου:

Θέτοντας $x_0=\displaystyle\frac{1}{5}$ και $x_0=\displaystyle\frac{7}{3}$ λαμβάνουμε αντίστοιχα -- βλέπε συνημμένο -- $K=(\displaystyle\frac{68}{25},\frac{16\sqrt{21}}{25})$ και $L=(-\displaystyle\frac{4}{9},\frac{16\sqrt{5}}{9})$ , οπότε εύκολα (WolframAlpha) έχουμε $T=(\displaystyle\frac{4(17\sqrt{5}+\sqrt{21})}{25\sqrt{5}-9\sqrt{21}},0)\approx(11,6235,0)$ .

Η εξίσωση της εφαπτομένης του ημικυκλίου (x-1)^2+y^2=4

, $y-y_0=\displaystyle\frac{1-x_0}{y_0}(x-x_0)$ με $y_0=\sqrt{3+2x_0-x_0^2}$ , δίνει, για $x=\displaystyle\frac{4(17\sqrt{5}+\sqrt{21})}{25\sqrt{5}-9\sqrt{21}}$ και y=0

(συντεταγμένες του

), $x_0=\displaystyle\frac{x+3}{x-1}=\displaystyle\frac{143\sqrt{5}-23\sqrt{21}}{43\sqrt{5}+13\sqrt{21}}\approx1,37652$ -- πολύ πολύ κοντά στην τετμημένη του σημείου

του Θανάση!

Θέτοντας τώρα x=1,37652

στον αριθμητή και στον παρονομαστή του τύπου, το WolframAlpha δίνει $|PS|\approx4,33048$ και $|QS|\approx2,36624$ , οπότε $\displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}\approx1,83011$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

#5

Τριγωνομετρική επίλυση του προβλήματος από τον Γιώργο Τσίντσιφα:

Από

$\displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}=\frac{|PQ|/2+|TS|}{|PQ|/2-|TS|}=\frac{|PQ|/2+|OK|cos\theta}{|PQ|/2-|OK|cos\theta}$

και

$|PQ|^2/4=|PT|^2=|OP|^2-|OT|^2=|OP|^2-(|KS|+|OK|sin\theta)^2$

λαμβάνουμε (για |OK|=1, |OP|=4, |KS|=2

)

$\displaystyle\frac{|PS|}{|QS|}=\frac{\sqrt{16-(2+sin\theta)^2}+cos\theta}{\sqrt{16-(2+sin\theta)^2}-cos\theta}.$

(Ας επισημανθεί εδώ ότι η γωνία $\theta$ μεταβάλλεται από $-arccos(4/5)\approx-0,41$ (θέση

) έως $arccos(2/3)\approx0,73$ (θέση

).)

Έχοντας πλέον εκφράσει τον ζητούμενο λόγο ως συνάρτηση μιας μεταβλητής, ο μηδενισμός της αντίστοιχης παραγώγου οδηγεί στην δευτεροβάθμιο

$2sin^2\theta+11sin\theta+2=0$ ,

με μόνη αποδεκτή ρίζα την $sin\theta=\displaystyle\frac{\sqrt{105}-11}{4}\approx-0,18826$ : εύκολα πλέον βρίσκουμε ότι η ζητούμενη μέγιστη τιμή ισούται προς περίπου 1,830109

, επαληθεύοντας την γεωμετρική εικασία του Στάθη Κούτρα (εδώ).

Εκ μέρους του Γιώργου Τσίντσιφα,

Γιώργος Μπαλόγλου

KARKAR · #6

Γι αυτούς που ασχολήθηκαν με το θέμα "Εκκεντρότητα" , βρήκα μιαν ανάρτηση του

που είναι

ακριβώς με τα ίδια νούμερα , οπότε την διαγράφω ...

Λόγος μη ... εκφωνηθείς

Λόγος μη ... εκφωνηθείς

Re: Λόγος μη ... εκφωνηθείς

Re: Λόγος μη ... εκφωνηθείς

Re: Λόγος μη ... εκφωνηθείς

Re: Λόγος μη ... εκφωνηθείς

Re: Λόγος μη ... εκφωνηθείς

Μέλη σε σύνδεση