Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6337
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Δεκ 28, 2012 9:16 pm

Έστω η συνάρτηση \displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},} για την οποία ισχύει

\displaystyle{\rm f(\cot x)=\sin 2x+\cos 2x,~\forall x\in (0,\pi)}

και η συνάρτηση \displaystyle{\rm g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},} με \displaystyle{\rm g(x)=f(\sin ^2x)f(\cos ^2x),~\forall x\in \mathbb{R}.}

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης \displaystyle{\rm g.}

Viet Nam.


Μάγκος Θάνος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6224
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Ιαν 14, 2022 7:08 pm

Επαναφορά!
Φαίνεται πολύ ενδιαφέρουσα...


Θανάσης Κοντογεώργης
Altrian
Δημοσιεύσεις: 234
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Κυρ Ιαν 16, 2022 3:29 pm

matha έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2012 9:16 pm
Έστω η συνάρτηση \displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},} για την οποία ισχύει

\displaystyle{\rm f(\cot x)=\sin 2x+\cos 2x,~\forall x\in (0,\pi)}

και η συνάρτηση \displaystyle{\rm g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},} με \displaystyle{\rm g(x)=f(\sin ^2x)f(\cos ^2x),~\forall x\in \mathbb{R}.}

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης \displaystyle{\rm g.}

Viet Nam.
Εστω x_{1}, x_{2}:sin^{2}x=cot(x_{1}),...cos^{2}x=cot(x_{2}). Επίσηςx\in (o,\pi)\Rightarrow cot(x_{1}),cot(x_{2})\in (0,1)\Rightarrow x_{1},x_{2}\in (\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2})

Αρα g(x)=(sin(2x_{1})+cos(2x_{1}))*(sin(2x_{2})+cos(2x_{2})).

Ευκολα προκύπτει ότι αφού x_{1}\in (\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2})\Rightarrow sin(2x_{1})+cos(2x_{1})\in (-1,1). Ομοίως και για το x_{2}. Επομένως μια θεωρητικά ελάχιστη τιμή της g(x) είναι το -1 το οποίο επαληθεύεται όταν x\rightarrow 0 ..( x\rightarrow \pi)\Rightarrow x_{1}\rightarrow \pi/2 ..and..x_{2}\rightarrow \pi/4.

Για το μέγιστο της g θα την αντιμετωπίσουμε ως συνάρτηση δύο μεταβλητών με περιορισμό. Συγκεκριμένα ζητάμε:

max\left \{ g(x_{1},x_{2}) \right \}=max\left \{\left [ sin(2x_{1})+cos(2x_{1}) \right ] *\left [ sin(2x_{2})+cos(2x_{2}) \right ]\right \}

s.t. :cotx_{1}+cotx_{2}=1.

Αυτή επιλύεται με την μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange και δίνει μέγιστο για x_{1}=x_{2}=arctan(2)=x_{0}

(Για προφανείς λόγους δεν γράφω την λύση αναλυτικά...).

Με αντικατάσταση τώρα παίρνουμε: cotx_{0}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow 2cosx_{0}=sinx_{0}\Rightarrow 4cos^{2}x_{0}=sin^{2}x_{0}\Rightarrow 5cos^{2}x_{0}=1\Rightarrow cos^{2}x_{0}=0.2

\Rightarrow cos(2x_{0})=-0,6\Rightarrow sin(2x_{0})=0,8\Rightarrow sin(2x_{0})+cos(2x_{0})=0.2.

Αρα g_{max}=0.2*0.2=0.04.

Επομένως g(x)\in (-1,0.04]

Με επιφύλαξη (ας την δούνε οι πιο ειδικοί).


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13148
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 16, 2022 7:05 pm

Θέτω : \dfrac{cosx}{sinx}=t , x \in(0,\pi) , οπότε : cosx=tsinx , δηλαδή : cos^2x=t^2sin^2x

άρα : 1-sin^2x=t^2sin^2x , τουτέστιν : sin^2x=\dfrac{1}{t^2+1} και : cos^2x=\dfrac{t^2}{t^2+1}

Συνεπώς : sin2x+cos2x=2sincosx+2cos^2x-1=\dfrac{t^2+2t-1}{t^2+1}=f(t) .

Τώρα : g(x)=\dfrac{(sin^4x+2sin^2x-1)(cos^4x+2cos^2x-1)}{(sin^4x+1)(cos^4x+1)} .

Για την συνάρτηση αυτή μπορούμε , ίσως , να βρούμε ότι : max(g)=\dfrac{1}{25} , π.χ για : x=\dfrac{\pi}{4}

και : min(g)=-1 , π.χ για : x=\dfrac{\pi}{2} (τα τελευταία με λογισμικό :oops: )


thepigod762
Δημοσιεύσεις: 52
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 23, 2021 1:02 am
Τοποθεσία: Λάρισα

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thepigod762 » Κυρ Ιαν 16, 2022 9:39 pm

Altrian έγραψε:
Κυρ Ιαν 16, 2022 3:29 pm
matha έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2012 9:16 pm
Έστω η συνάρτηση \displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},} για την οποία ισχύει

\displaystyle{\rm f(\cot x)=\sin 2x+\cos 2x,~\forall x\in (0,\pi)}

και η συνάρτηση \displaystyle{\rm g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},} με \displaystyle{\rm g(x)=f(\sin ^2x)f(\cos ^2x),~\forall x\in \mathbb{R}.}

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης \displaystyle{\rm g.}

Viet Nam.


Ευκολα προκύπτει ότι αφού x_{1}\in (\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2})\Rightarrow sin(2x_{1})+cos(2x_{1})\in (-1,1). Ομοίως και για το x_{2}. Επομένως μια θεωρητικά ελάχιστη τιμή της g(x) είναι το -1 το οποίο επαληθεύεται όταν x\rightarrow 0 ..( x\rightarrow \pi)\Rightarrow x_{1}\rightarrow \pi/2 ..and..x_{2}\rightarrow \pi/4.
Με συγχωρείτε, μα αυτά ανοίκουν σε ανοικτό διάστημα. Οι τιμές αυτές δεν πιάνονται.

Altrian έγραψε:
Κυρ Ιαν 16, 2022 3:29 pm
matha έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2012 9:16 pm
Έστω η συνάρτηση \displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},} για την οποία ισχύει

\displaystyle{\rm f(\cot x)=\sin 2x+\cos 2x,~\forall x\in (0,\pi)}

και η συνάρτηση \displaystyle{\rm g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},} με \displaystyle{\rm g(x)=f(\sin ^2x)f(\cos ^2x),~\forall x\in \mathbb{R}.}

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης \displaystyle{\rm g.}

Viet Nam.
Για το μέγιστο της g θα την αντιμετωπίσουμε ως συνάρτηση δύο μεταβλητών με περιορισμό. Συγκεκριμένα ζητάμε:

max\left \{ g(x_{1},x_{2}) \right \}=max\left \{\left [ sin(2x_{1})+cos(2x_{1}) \right ] *\left [ sin(2x_{2})+cos(2x_{2}) \right ]\right \}

s.t. :cotx_{1}+cotx_{2}=1.

Αυτή επιλύεται με την μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange και δίνει μέγιστο για x_{1}=x_{2}=arctan(2)=x_{0}

(Για προφανείς λόγους δεν γράφω την λύση αναλυτικά...).
Για το μέγιστο, ας δούμε και μια αναλυτική προσέγγιση της μεθόδου με πολλαπλασιαστές Lagrange:

Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την g(x_1,x_2)=[\sin(2x_1)+\cos(2x_1)][\sin(2x_2)+\cos(2x_2)], με h(x_1,x_2)=\cotx_1+\cotx_2-1=0 μια συνάρτηση περιορισμού.

Οι g, h είναι συνεχείς συναρτήσεις με συνεχείς μερικές παραγώγους.

Αρχικά θα εξετάσουμε τις τιμές της g όταν η κλίση της h μηδενίζεται.

Τότε θα είναι
\bigtriangledown h=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial }{\partial x_1}\\\ \dfrac{\partial }{\partial x_2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} [\sin(2x_2)+\cos(2x_2)][2(\cos(2x_1)-\sin(2x_1))]\\\ [\sin(2x_1)+\cos(2x_1)][2(\cos(2x_2)-\sin(2x_2))] \end{bmatrix}=0

Εύκολα βλέπουμε ότι \cos(2x)-\sin(2x)< 0,\forall x \in (\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}).

Επομένως πρέπει να είναι
\sin(2x_1)+\cos(2x_1)=\sin(2x_2)+\cos(2x_2)=0, που επιτυγχάνεται όταν \sin(2x_{1,2})=-\cos(2x_{1,2})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow x_{1,2}=\dfrac{3\pi}{8} και μόνο τότε, κάτι που μπορεί εύκολα να αποδειχθεί εξετάζοντας την μονοτονία της F(x)=\sin(2x)+\cos(2x) στο συγκεκριμένο διάστημα.

Τότε, θα είναι g(x)=0, αποκλείεται μέγιστο.


Όταν η κλίση της συνθήκης δεν μηδενίζεται μπορούμε να εφαρμόσουμε πολλαπλασιαστές Lagrange.

Αρχικά, το σύνολο τιμών της g, U=(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2})^{2} είναι ανοικτό, οπότε ονομάζουμε \bar{U}=[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}]^{2} το κλείσιμο του U. Τότε, το σύνολο
\bar{S}=\{x \in \bar{U}:h(x)=0 \}
είναι κλειστό και άρα συμπαγές. Οπότε η g παρουσιάζει μέγιστο στο \bar{S}, ας πούμε το x.

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
  • Ένα από τα στοιχεία του x, ας πούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας το x_1 να βρίσκεται στο S\cap \bar{S}=\{\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2} \}. Τότε, χρησιμοποιόντας και την συνθήκη παίρνουμε x_2 \in \{\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{4} \} και για την g παίρνουμε g(χ)=0, αποκλείεται μέγιστο
  • Το x να βρίσκεται στο S. Τότε, οι πολλαπλασιαστές Lagrange δίνουν:
    \bigtriangledown g=\lambda \bigtriangledown h\Leftrightarrow \begin{bmatrix} [\sin(2x_2)+\cos(2x_2)][2(\cos(2x_1)-\sin(2x_1))]\\\ [\sin(2x_1)+\cos(2x_1)][2(\cos(2x_2)-\sin(2x_2))] \end{bmatrix}=\lambda \begin{bmatrix} -\csc^{2}x_1\\ -\csc^{2}x_2 \end{bmatrix}

    Οπότε
    \begin{cases}[\sin(2x_2)+\cos(2x_2)][2(\cos(2x_1)-\sin(2x_1))]=\lambda (-\csc^{2}x_1) \\ [\sin(2x_1)+\cos(2x_1)][2(\cos(2x_2)-\sin(2x_2))]=\lambda (-\csc^{2}x_2) \end{cases}\Rightarrow

    \Rightarrow \dfrac{[sin(2x_2)+cos(2x_2)][2(cos(2x_1)-sin(2x_1))]}{\csc^{2}x_1}=\dfrac{[sin(2x_1)+cos(2x_1)][2(cos(2x_2)-sin(2x_2))]}{\csc^{2}x_2}

    Προφανώς και μία λύση δίνεται για x_1=x_2, αλλά είναι η μόνη; Ένα λογισμικό ίσως να βοηθούσε εδώ.


Γιώργος Κοτσάλης
thepigod762
Δημοσιεύσεις: 52
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 23, 2021 1:02 am
Τοποθεσία: Λάρισα

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thepigod762 » Κυρ Ιαν 16, 2022 9:48 pm

thepigod762 έγραψε:
Κυρ Ιαν 16, 2022 9:39 pm
Για το μέγιστο, ας δούμε και μια αναλυτική προσέγγιση της μεθόδου με πολλαπλασιαστές Lagrange:

Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την g(x_1,x_2)=[\sin(2x_1)+\cos(2x_1)][\sin(2x_2)+\cos(2x_2)], με h(x_1,x_2)=\cotx_1+\cotx_2-1=0 μια συνάρτηση περιορισμού.

Οι g, h είναι συνεχείς συναρτήσεις με συνεχείς μερικές παραγώγους.

Αρχικά θα εξετάσουμε τις τιμές της g όταν η κλίση της h μηδενίζεται.

Τότε θα είναι
\bigtriangledown h=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial }{\partial x_1}\\\ \dfrac{\partial }{\partial x_2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} [\sin(2x_2)+\cos(2x_2)][2(\cos(2x_1)-\sin(2x_1))]\\\ [\sin(2x_1)+\cos(2x_1)][2(\cos(2x_2)-\sin(2x_2))] \end{bmatrix}=0

Εύκολα βλέπουμε ότι \cos(2x)-\sin(2x)< 0,\forall x \in (\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}).

Επομένως πρέπει να είναι
\sin(2x_1)+\cos(2x_1)=\sin(2x_2)+\cos(2x_2)=0, που επιτυγχάνεται όταν \sin(2x_{1,2})=-\cos(2x_{1,2})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow x_{1,2}=\dfrac{3\pi}{8} και μόνο τότε, κάτι που μπορεί εύκολα να αποδειχθεί εξετάζοντας την μονοτονία της F(x)=\sin(2x)+\cos(2x) στο συγκεκριμένο διάστημα.

Τότε, θα είναι g(x)=0, αποκλείεται μέγιστο.

Μόλις διαπίστωσα ένα λάθος σε αυτό το μέρος. Η κλίση αυτή είναι της g και όχι της h! Έτσι, αυτή η περίπτωση δεν χρειάζεται καν, αφού τώρα παρατηρούμε ότι η κλίση είναι αδύνατο να μηδενιστεί.
Τότε θα ήταν \bigtriangledown h=\begin{bmatrix} -csc^{2}x_1\\-csc^{2}x_2 \end{bmatrix}=0, που είναι αδύνατο.


Γιώργος Κοτσάλης
abgd
Δημοσιεύσεις: 212
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Δευ Ιαν 17, 2022 2:39 pm

matha έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2012 9:16 pm
Έστω η συνάρτηση \displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},} για την οποία ισχύει

\displaystyle{\rm f(\cot x)=\sin 2x+\cos 2x,~\forall x\in (0,\pi)}

και η συνάρτηση \displaystyle{\rm g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},} με \displaystyle{\rm g(x)=f(\sin ^2x)f(\cos ^2x),~\forall x\in \mathbb{R}.}

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης \displaystyle{\rm g.}

Viet Nam.
Με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών τύπων δείχνουμε, όπως έκανε παραπάνω ο Θανάσης, ότι:

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}, \ \ x\in \mathbb{R}

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με την εύρεση των ακροτάτων της συνάρτησης

\displaystyle h(x)=f(x)f(1-x), \ \ x\in[0,1]

Για την συνάρτηση \displaystyle f ισχύουν τα παρακάτω:

\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{-2x^2+4x+2}{(x^2+1)^2}, \ \ f^{\prime}^{\prime}(x)=\frac{-4f(x)}{(x^2+1)^3} , \ \ f(0)=-1, \ \ f(1)=1, \ \ f^{\prime}(0)=2, \ \ f^{\prime}(1)=1

Η συνάρτηση \displaystyle f είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle [0,1] , με σύνολο τιμών το \displaystyle [-1,1]

Εύκολα, συνεπώς, μπορούμε να δικαιολογήσουμε ότι η ελάχιστη τιμή της \displaystyle h είναι το \displaystyle -1, για \displaystyle x=0, ή \displaystyle x=1.

Ακόμη,

\displaystyle h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)f(1-x)-f^{\prime}(1-x)f(x), x \in[0,1]

Μία προφανής ρίζα της \displaystyle h^{\prime} είναι ο αριθμός \displaystyle \frac{1}{2}.

Μπορούμε τώρα να δείξουμε ότι δεν έχουμε άλλη ρίζα, με τη βοήθεια της συνάρτησης \displaystyle \frac{f}{f^{\prime}}, και αφού \displaystyle h^{\prime}(0)=3>0, \ \ h^{\prime}(1)=-3<0 θα είναι:

\displaystyle h γνησίως αύξουσα στο \displaystyle \left[0,\frac{1}{2}\right] και γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle \left[\frac{1}{2},1\right]

Έτσι, η μέγιστη τιμή της \displaystyle h είναι ο αριθμός \displaystyle h\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{25}.

Για την εύρεση των \displaystyle x στα οποία η συνάρτηση \displaystyle g έχει ελάχιστο, μέγιστο επιλύουμε τις εξισώσεις:

\displaystyle sin^2(x)=0 ή \displaystyle sin^2(x)=1 για το ελάχιστο

και την \displaystyle sin^2(x)=\frac{1}{2} για το μέγιστο.

Παρατηρούμε ότι τα ακρότατα της \displaystyle g παρουσιάζονται στα σημεία \displaystyle \frac{k\pi}{4}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3434
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιαν 17, 2022 3:33 pm

abgd έγραψε:
Δευ Ιαν 17, 2022 2:39 pm
matha έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2012 9:16 pm
Έστω η συνάρτηση \displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},} για την οποία ισχύει

\displaystyle{\rm f(\cot x)=\sin 2x+\cos 2x,~\forall x\in (0,\pi)}

και η συνάρτηση \displaystyle{\rm g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},} με \displaystyle{\rm g(x)=f(\sin ^2x)f(\cos ^2x),~\forall x\in \mathbb{R}.}

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης \displaystyle{\rm g.}

Viet Nam.
Με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών τύπων δείχνουμε, όπως έκανε παραπάνω ο Θανάσης, ότι:

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}, \ \ x\in \mathbb{R}

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με την εύρεση των ακροτάτων της συνάρτησης

\displaystyle h(x)=f(x)f(1-x), \ \ x\in[0,1]

Για την συνάρτηση \displaystyle f ισχύουν τα παρακάτω:

\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{-2x^2+4x+2}{(x^2+1)^2}, \ \ f^{\prime}^{\prime}(x)=\frac{-4f(x)}{(x^2+1)^3} , \ \ f(0)=-1, \ \ f(1)=1, \ \ f^{\prime}(0)=2, \ \ f^{\prime}(1)=1

Η συνάρτηση \displaystyle f είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle [0,1] , με σύνολο τιμών το \displaystyle [-1,1]

Εύκολα, συνεπώς, μπορούμε να δικαιολογήσουμε ότι η ελάχιστη τιμή της \displaystyle h είναι το \displaystyle -1, για \displaystyle x=0, ή \displaystyle x=1.

Ακόμη,

\displaystyle h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)f(1-x)-f^{\prime}(1-x)f(x), x \in[0,1]

Μία προφανής ρίζα της \displaystyle h^{\prime} είναι ο αριθμός \displaystyle \frac{1}{2}.

Μπορούμε τώρα να δείξουμε ότι δεν έχουμε άλλη ρίζα, με τη βοήθεια της συνάρτησης \displaystyle \frac{f}{f^{\prime}}, και αφού \displaystyle h^{\prime}(0)=3>0, \ \ h^{\prime}(1)=-3<0 θα είναι:

\displaystyle h γνησίως αύξουσα στο \displaystyle \left[0,\frac{1}{2}\right] και γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle \left[\frac{1}{2},1\right]

Έτσι, η μέγιστη τιμή της \displaystyle h είναι ο αριθμός \displaystyle h\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{25}.

Για την εύρεση των \displaystyle x στα οποία η συνάρτηση \displaystyle g έχει ελάχιστο, μέγιστο επιλύουμε τις εξισώσεις:

\displaystyle sin^2(x)=0 ή \displaystyle sin^2(x)=1 για το ελάχιστο

και την \displaystyle sin^2(x)=\frac{1}{2} για το μέγιστο.

Παρατηρούμε ότι τα ακρότατα της \displaystyle g παρουσιάζονται στα σημεία \displaystyle \frac{k\pi}{4}


Μία προφανής ρίζα της \displaystyle h^{\prime} είναι ο αριθμός \displaystyle \frac{1}{2}.
Δεν νομίζω ότι το
Μπορούμε τώρα να δείξουμε ότι δεν έχουμε άλλη ρίζα
ισχύει .


abgd
Δημοσιεύσεις: 212
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Δευ Ιαν 17, 2022 4:38 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Ιαν 17, 2022 3:33 pm
Δεν νομίζω ότι το
Μπορούμε τώρα να δείξουμε ότι δεν έχουμε άλλη ρίζα
ισχύει .
Γιατί όχι;

Πιο αναλυτικά:

Η εξίσωση \displaystyle h^{\prime}(x)=0 είναι ισοδύναμη με την \displaystyle \frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}=\frac{f(1-x)}{f^{\prime}(1-x)}.
Θεωρούμε τις συναρτήσεις:
\displaystyle t_1(x)= \frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}, t_2(x)=\frac{f(1-x)}{f^{\prime}(1-x)}= t_1(1-x)
Είναι:
\displaystyle t_1^{\prime}(x)>0 οπότε \displaystyle t_1 γνησίως αύξουσα και \displaystyle t_2 γνησίως φθίνουσα με το ίδιο σύνολο τιμών το \displaystyle [-\frac{1}{2},1]. Το ζητούμενο έπεται εύκολα, (Bolzano, μονοτονία για την \displaystyle t_1-t_2 ).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3434
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιαν 17, 2022 7:57 pm

abgd έγραψε:
Δευ Ιαν 17, 2022 4:38 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Ιαν 17, 2022 3:33 pm
Δεν νομίζω ότι το
Μπορούμε τώρα να δείξουμε ότι δεν έχουμε άλλη ρίζα
ισχύει .
Γιατί όχι;

Πιο αναλυτικά:

Η εξίσωση \displaystyle h^{\prime}(x)=0 είναι ισοδύναμη με την \displaystyle \frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}=\frac{f(1-x)}{f^{\prime}(1-x)}.
Θεωρούμε τις συναρτήσεις:
\displaystyle t_1(x)= \frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}, t_2(x)=\frac{f(1-x)}{f^{\prime}(1-x)}= t_1(1-x)
Είναι:
\displaystyle t_1^{\prime}(x)>0 οπότε \displaystyle t_1 γνησίως αύξουσα και \displaystyle t_2 γνησίως φθίνουσα με το ίδιο σύνολο τιμών το \displaystyle [-\frac{1}{2},1]. Το ζητούμενο έπεται εύκολα, (Bolzano, μονοτονία για την \displaystyle t_1-t_2 ).
Εχετε δίκιο.
Εκανα λάθος (στις πράξεις ήταν το λάθος)
Σας ζήτω συγνώμη για την ταλαιπωρία.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Δευ Ιαν 17, 2022 8:03 pm

Καλησπέρα!

Άλλη μια προσέγγιση για το πρόβλημα , στη μορφή που το έφεραν ο κύριος Θανάσης και ο abgd.

Έχουμε να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης:

h(x)=f(x)f(1-x), 0\leq x\leq 1.

Ισοδύναμα, έχουμε να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης

t(x,y)=\dfrac{(x^2+2x-1)(y^2+2y-1)}{(x^2+1)(y^2+1)}, x+y=1,0\leq x,y\leq 1.

Λόγω συμμετρίας , θεωρώ ότι x\geq y.


Όμως,

t(x,y)=\dfrac{(x^2+x-y)(y^2+y-x)}{(x^2+1)(y^2+1)}=\dfrac{(x^2+a^2)(y^2-a^2)}{(x^2+1)(y^2+1)},a=\sqrt{x-y}.

Είναι (x^2+a^2)(y^2-a^2)\leq x^2y^2, διότι ισοδυναμεί με

a^2(x^2-y^2)+a^4\geq 0, που ισχύει.

Επομένως,

t(x,y)\leq \dfrac{x^2y^2}{(x^2+1)(y^2+1)}\leq \dfrac{x^2y^2}{(xy+1)^2}=\dfrac{1}{(1+\dfrac{1}{xy})^2}\leq \dfrac{1}{(1+4)^2}=\dfrac{1}{25}.

Ισότητα ,π.χ., για a=0, x=y=\dfrac{1}{2}.

Για το ελάχιστο:

Είναι a\leq 1.

Οπότε,

\dfrac{y^2-a^2}{y^2+1}\geq \dfrac{y^2-1}{y^2+1}\Rightarrow \dfrac{x^2+a^2}{x^2+1}\cdot \dfrac{y^2-a^2}{y^2+1}\geq \dfrac{x^2+a^2}{x^2+1}\cdot \dfrac{y^2-1}{y^2+1}.

Όμως,

\dfrac{x^2+a^2}{x^2+1}\cdot \dfrac{y^2-1}{y^2+1}\geq \dfrac{y^2-1}{y^2+1}, διότι a,y^2\leq 1.

Ακόμη,

\dfrac{y^2-1}{y^2+1}\geq -1\Leftrightarrow y^2\geq 0, που ισχύει.

Τελικά,

t(x,y)\geq -1, με ισότητα για a=1, x=1,y=0.


Κώστας Σφακιανάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης