Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

#1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle{\rm f(\cot x)=\sin 2x+\cos 2x,~\forall x\in (0,\pi)}$

και η συνάρτηση $\displaystyle{\rm g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ με $\displaystyle{\rm g(x)=f(\sin ^2x)f(\cos ^2x),~\forall x\in \mathbb{R}.}$

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης $\displaystyle{\rm g.}$

Viet Nam.

#2

Επαναφορά!
Φαίνεται πολύ ενδιαφέρουσα...

Altrian · #3

matha έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 28, 2012 9:16 pm
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle{\rm f(\cot x)=\sin 2x+\cos 2x,~\forall x\in (0,\pi)}$

και η συνάρτηση $\displaystyle{\rm g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ με $\displaystyle{\rm g(x)=f(\sin ^2x)f(\cos ^2x),~\forall x\in \mathbb{R}.}$

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης $\displaystyle{\rm g.}$

Viet Nam.

Εστω $x_{1}, x_{2}:sin^{2}x=cot(x_{1}),...cos^{2}x=cot(x_{2})$ . Επίσης $x\in (o,\pi)\Rightarrow cot(x_{1}),cot(x_{2})\in (0,1)\Rightarrow x_{1},x_{2}\in (\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2})$

Αρα $g(x)=(sin(2x_{1})+cos(2x_{1}))*(sin(2x_{2})+cos(2x_{2}))$ .

Ευκολα προκύπτει ότι αφού $x_{1}\in (\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2})\Rightarrow sin(2x_{1})+cos(2x_{1})\in (-1,1)$ . Ομοίως και για το $x_{2}$ . Επομένως μια θεωρητικά ελάχιστη τιμή της g(x)

είναι το

το οποίο επαληθεύεται όταν $x\rightarrow 0 ..( x\rightarrow \pi)\Rightarrow x_{1}\rightarrow \pi/2 ..and..x_{2}\rightarrow \pi/4$ .

Για το μέγιστο της

θα την αντιμετωπίσουμε ως συνάρτηση δύο μεταβλητών με περιορισμό. Συγκεκριμένα ζητάμε:

$max\left \{ g(x_{1},x_{2}) \right \}=max\left \{\left [ sin(2x_{1})+cos(2x_{1}) \right ] *\left [ sin(2x_{2})+cos(2x_{2}) \right ]\right \}$

$s.t. :cotx_{1}+cotx_{2}=1$ .

Αυτή επιλύεται με την μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange και δίνει μέγιστο για $x_{1}=x_{2}=arctan(2)=x_{0}$

(Για προφανείς λόγους δεν γράφω την λύση αναλυτικά...).

Με αντικατάσταση τώρα παίρνουμε: $cotx_{0}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow 2cosx_{0}=sinx_{0}\Rightarrow 4cos^{2}x_{0}=sin^{2}x_{0}\Rightarrow 5cos^{2}x_{0}=1\Rightarrow cos^{2}x_{0}=0.2 \Rightarrow cos(2x_{0})=-0,6\Rightarrow sin(2x_{0})=0,8$ $\Rightarrow sin(2x_{0})+cos(2x_{0})=0.2$ .

Αρα $g_{max}=0.2*0.2=0.04$ .

Επομένως $g(x)\in (-1,0.04]$

Με επιφύλαξη (ας την δούνε οι πιο ειδικοί).

KARKAR · #4

Θέτω : $\dfrac{cosx}{sinx}=t , x \in(0,\pi)$ , οπότε : cosx=tsinx

, δηλαδή : cos^2x=t^2sin^2x

άρα :

, τουτέστιν : $sin^2x=\dfrac{1}{t^2+1}$ και : $cos^2x=\dfrac{t^2}{t^2+1}$

Συνεπώς : $sin2x+cos2x=2sincosx+2cos^2x-1=\dfrac{t^2+2t-1}{t^2+1}=f(t)$ .

Τώρα : $g(x)=\dfrac{(sin^4x+2sin^2x-1)(cos^4x+2cos^2x-1)}{(sin^4x+1)(cos^4x+1)}$ .

Για την συνάρτηση αυτή μπορούμε , ίσως , να βρούμε ότι : $max(g)=\dfrac{1}{25}$ , π.χ για : $x=\dfrac{\pi}{4}$

και : min(g)=-1

, π.χ για : $x=\dfrac{\pi}{2}$ (τα τελευταία με λογισμικό

)

thepigod762 · #5

Altrian έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 16, 2022 3:29 pm

matha έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 28, 2012 9:16 pm
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle{\rm f(\cot x)=\sin 2x+\cos 2x,~\forall x\in (0,\pi)}$

και η συνάρτηση $\displaystyle{\rm g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ με $\displaystyle{\rm g(x)=f(\sin ^2x)f(\cos ^2x),~\forall x\in \mathbb{R}.}$

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης $\displaystyle{\rm g.}$

Viet Nam.

Ευκολα προκύπτει ότι αφού $x_{1}\in (\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2})\Rightarrow sin(2x_{1})+cos(2x_{1})\in (-1,1)$ . Ομοίως και για το $x_{2}$ . Επομένως μια θεωρητικά ελάχιστη τιμή της είναι το το οποίο επαληθεύεται όταν $x\rightarrow 0 ..( x\rightarrow \pi)\Rightarrow x_{1}\rightarrow \pi/2 ..and..x_{2}\rightarrow \pi/4$ .

Με συγχωρείτε, μα αυτά ανοίκουν σε ανοικτό διάστημα. Οι τιμές αυτές δεν πιάνονται.

Altrian έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 16, 2022 3:29 pm

matha έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 28, 2012 9:16 pm
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle{\rm f(\cot x)=\sin 2x+\cos 2x,~\forall x\in (0,\pi)}$

και η συνάρτηση $\displaystyle{\rm g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ με $\displaystyle{\rm g(x)=f(\sin ^2x)f(\cos ^2x),~\forall x\in \mathbb{R}.}$

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης $\displaystyle{\rm g.}$

Viet Nam.
Για το μέγιστο της θα την αντιμετωπίσουμε ως συνάρτηση δύο μεταβλητών με περιορισμό. Συγκεκριμένα ζητάμε:

$max\left \{ g(x_{1},x_{2}) \right \}=max\left \{\left [ sin(2x_{1})+cos(2x_{1}) \right ] *\left [ sin(2x_{2})+cos(2x_{2}) \right ]\right \}$

$s.t. :cotx_{1}+cotx_{2}=1$ .

Αυτή επιλύεται με την μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange και δίνει μέγιστο για $x_{1}=x_{2}=arctan(2)=x_{0}$

(Για προφανείς λόγους δεν γράφω την λύση αναλυτικά...).

Για το μέγιστο, ας δούμε και μια αναλυτική προσέγγιση της μεθόδου με πολλαπλασιαστές Lagrange:

Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την $g(x_1,x_2)=[\sin(2x_1)+\cos(2x_1)][\sin(2x_2)+\cos(2x_2)]$ , με $h(x_1,x_2)=\cotx_1+\cotx_2-1=0$ μια συνάρτηση περιορισμού.

Οι g, h

είναι συνεχείς συναρτήσεις με συνεχείς μερικές παραγώγους.

Αρχικά θα εξετάσουμε τις τιμές της

όταν η κλίση της

μηδενίζεται.

Τότε θα είναι
$\bigtriangledown h=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial }{\partial x_1}\\\ \dfrac{\partial }{\partial x_2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} [\sin(2x_2)+\cos(2x_2)][2(\cos(2x_1)-\sin(2x_1))]\\\ [\sin(2x_1)+\cos(2x_1)][2(\cos(2x_2)-\sin(2x_2))] \end{bmatrix}=0$

Εύκολα βλέπουμε ότι $\cos(2x)-\sin(2x)< 0,\forall x \in (\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2})$ .

Επομένως πρέπει να είναι
$\sin(2x_1)+\cos(2x_1)=\sin(2x_2)+\cos(2x_2)=0$ , που επιτυγχάνεται όταν $\sin(2x_{1,2})=-\cos(2x_{1,2})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow x_{1,2}=\dfrac{3\pi}{8}$ και μόνο τότε, κάτι που μπορεί εύκολα να αποδειχθεί εξετάζοντας την μονοτονία της $F(x)=\sin(2x)+\cos(2x)$ στο συγκεκριμένο διάστημα.

Τότε, θα είναι g(x)=0

, αποκλείεται μέγιστο.

Όταν η κλίση της συνθήκης δεν μηδενίζεται μπορούμε να εφαρμόσουμε πολλαπλασιαστές Lagrange.

Αρχικά, το σύνολο τιμών της

, $U=(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2})^{2}$ είναι ανοικτό, οπότε ονομάζουμε $\bar{U}=[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}]^{2}$ το κλείσιμο του

. Τότε, το σύνολο
$\bar{S}=\{x \in \bar{U}:h(x)=0 \}$
είναι κλειστό και άρα συμπαγές. Οπότε η

παρουσιάζει μέγιστο στο $\bar{S}$ , ας πούμε το

.

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

Ένα από τα στοιχεία του , ας πούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας το να βρίσκεται στο $S\cap \bar{S}=\{\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2} \}$ . Τότε, χρησιμοποιόντας και την συνθήκη παίρνουμε $x_2 \in \{\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{4} \}$ και για την παίρνουμε , αποκλείεται μέγιστο

Το να βρίσκεται στο . Τότε, οι πολλαπλασιαστές Lagrange δίνουν:
$\bigtriangledown g=\lambda \bigtriangledown h\Leftrightarrow \begin{bmatrix} [\sin(2x_2)+\cos(2x_2)][2(\cos(2x_1)-\sin(2x_1))]\\\ [\sin(2x_1)+\cos(2x_1)][2(\cos(2x_2)-\sin(2x_2))] \end{bmatrix}=\lambda \begin{bmatrix} -\csc^{2}x_1\\ -\csc^{2}x_2 \end{bmatrix}$

Οπότε
$\begin{cases}[\sin(2x_2)+\cos(2x_2)][2(\cos(2x_1)-\sin(2x_1))]=\lambda (-\csc^{2}x_1) \\ [\sin(2x_1)+\cos(2x_1)][2(\cos(2x_2)-\sin(2x_2))]=\lambda (-\csc^{2}x_2) \end{cases}\Rightarrow$

$\Rightarrow \dfrac{[sin(2x_2)+cos(2x_2)][2(cos(2x_1)-sin(2x_1))]}{\csc^{2}x_1}=\dfrac{[sin(2x_1)+cos(2x_1)][2(cos(2x_2)-sin(2x_2))]}{\csc^{2}x_2}$

Προφανώς και μία λύση δίνεται για , αλλά είναι η μόνη; Ένα λογισμικό ίσως να βοηθούσε εδώ.

thepigod762 · #6

thepigod762 έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 16, 2022 9:39 pm
Για το μέγιστο, ας δούμε και μια αναλυτική προσέγγιση της μεθόδου με πολλαπλασιαστές Lagrange:

Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την $g(x_1,x_2)=[\sin(2x_1)+\cos(2x_1)][\sin(2x_2)+\cos(2x_2)]$ , με $h(x_1,x_2)=\cotx_1+\cotx_2-1=0$ μια συνάρτηση περιορισμού.

Οι είναι συνεχείς συναρτήσεις με συνεχείς μερικές παραγώγους.

Αρχικά θα εξετάσουμε τις τιμές της όταν η κλίση της μηδενίζεται.

Τότε θα είναι
$\bigtriangledown h=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial }{\partial x_1}\\\ \dfrac{\partial }{\partial x_2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} [\sin(2x_2)+\cos(2x_2)][2(\cos(2x_1)-\sin(2x_1))]\\\ [\sin(2x_1)+\cos(2x_1)][2(\cos(2x_2)-\sin(2x_2))] \end{bmatrix}=0$

Εύκολα βλέπουμε ότι $\cos(2x)-\sin(2x)< 0,\forall x \in (\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2})$ .

Επομένως πρέπει να είναι
$\sin(2x_1)+\cos(2x_1)=\sin(2x_2)+\cos(2x_2)=0$ , που επιτυγχάνεται όταν $\sin(2x_{1,2})=-\cos(2x_{1,2})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow x_{1,2}=\dfrac{3\pi}{8}$ και μόνο τότε, κάτι που μπορεί εύκολα να αποδειχθεί εξετάζοντας την μονοτονία της $F(x)=\sin(2x)+\cos(2x)$ στο συγκεκριμένο διάστημα.

Τότε, θα είναι , αποκλείεται μέγιστο.

Μόλις διαπίστωσα ένα λάθος σε αυτό το μέρος. Η κλίση αυτή είναι της

και όχι της

! Έτσι, αυτή η περίπτωση δεν χρειάζεται καν, αφού τώρα παρατηρούμε ότι η κλίση είναι αδύνατο να μηδενιστεί.
Τότε θα ήταν $\bigtriangledown h=\begin{bmatrix} -csc^{2}x_1\\-csc^{2}x_2 \end{bmatrix}=0$ , που είναι αδύνατο.

abgd · #7

matha έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 28, 2012 9:16 pm
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle{\rm f(\cot x)=\sin 2x+\cos 2x,~\forall x\in (0,\pi)}$

και η συνάρτηση $\displaystyle{\rm g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ με $\displaystyle{\rm g(x)=f(\sin ^2x)f(\cos ^2x),~\forall x\in \mathbb{R}.}$

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης $\displaystyle{\rm g.}$

Viet Nam.

Με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών τύπων δείχνουμε, όπως έκανε παραπάνω ο Θανάσης, ότι:

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}, \ \ x\in \mathbb{R}$

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με την εύρεση των ακροτάτων της συνάρτησης

$\displaystyle h(x)=f(x)f(1-x), \ \ x\in[0,1]$

Για την συνάρτηση $\displaystyle f$ ισχύουν τα παρακάτω:

$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{-2x^2+4x+2}{(x^2+1)^2}, \ \ f^{\prime}^{\prime}(x)=\frac{-4f(x)}{(x^2+1)^3} , \ \ f(0)=-1, \ \ f(1)=1, \ \ f^{\prime}(0)=2, \ \ f^{\prime}(1)=1$

Η συνάρτηση $\displaystyle f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle [0,1]$ , με σύνολο τιμών το $\displaystyle [-1,1]$

Εύκολα, συνεπώς, μπορούμε να δικαιολογήσουμε ότι η ελάχιστη τιμή της $\displaystyle h$ είναι το $\displaystyle -1$ , για $\displaystyle x=0$ , ή $\displaystyle x=1$ .

Ακόμη,

$\displaystyle h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)f(1-x)-f^{\prime}(1-x)f(x), x \in[0,1]$

Μία προφανής ρίζα της $\displaystyle h^{\prime}$ είναι ο αριθμός $\displaystyle \frac{1}{2}$ .

Μπορούμε τώρα να δείξουμε ότι δεν έχουμε άλλη ρίζα, με τη βοήθεια της συνάρτησης $\displaystyle \frac{f}{f^{\prime}}$ , και αφού $\displaystyle h^{\prime}(0)=3>0, \ \ h^{\prime}(1)=-3<0$ θα είναι:

$\displaystyle h$ γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left[0,\frac{1}{2}\right]$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle \left[\frac{1}{2},1\right]$

Έτσι, η μέγιστη τιμή της $\displaystyle h$ είναι ο αριθμός $\displaystyle h\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{25}$ .

Για την εύρεση των $\displaystyle x$ στα οποία η συνάρτηση $\displaystyle g$ έχει ελάχιστο, μέγιστο επιλύουμε τις εξισώσεις:

$\displaystyle sin^2(x)=0$ ή $\displaystyle sin^2(x)=1$ για το ελάχιστο

και την $\displaystyle sin^2(x)=\frac{1}{2}$ για το μέγιστο.

Παρατηρούμε ότι τα ακρότατα της $\displaystyle g$ παρουσιάζονται στα σημεία $\displaystyle \frac{k\pi}{4}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

abgd έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 17, 2022 2:39 pm

matha έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 28, 2012 9:16 pm
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle{\rm f(\cot x)=\sin 2x+\cos 2x,~\forall x\in (0,\pi)}$

και η συνάρτηση $\displaystyle{\rm g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ με $\displaystyle{\rm g(x)=f(\sin ^2x)f(\cos ^2x),~\forall x\in \mathbb{R}.}$

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης $\displaystyle{\rm g.}$

Viet Nam.
Με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών τύπων δείχνουμε, όπως έκανε παραπάνω ο Θανάσης, ότι:

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}, \ \ x\in \mathbb{R}$

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με την εύρεση των ακροτάτων της συνάρτησης

$\displaystyle h(x)=f(x)f(1-x), \ \ x\in[0,1]$

Για την συνάρτηση $\displaystyle f$ ισχύουν τα παρακάτω:

$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{-2x^2+4x+2}{(x^2+1)^2}, \ \ f^{\prime}^{\prime}(x)=\frac{-4f(x)}{(x^2+1)^3} , \ \ f(0)=-1, \ \ f(1)=1, \ \ f^{\prime}(0)=2, \ \ f^{\prime}(1)=1$

Η συνάρτηση $\displaystyle f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle [0,1]$ , με σύνολο τιμών το $\displaystyle [-1,1]$

Εύκολα, συνεπώς, μπορούμε να δικαιολογήσουμε ότι η ελάχιστη τιμή της $\displaystyle h$ είναι το $\displaystyle -1$ , για $\displaystyle x=0$ , ή $\displaystyle x=1$ .

Ακόμη,

$\displaystyle h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)f(1-x)-f^{\prime}(1-x)f(x), x \in[0,1]$

Μία προφανής ρίζα της $\displaystyle h^{\prime}$ είναι ο αριθμός $\displaystyle \frac{1}{2}$ .

Μπορούμε τώρα να δείξουμε ότι δεν έχουμε άλλη ρίζα, με τη βοήθεια της συνάρτησης $\displaystyle \frac{f}{f^{\prime}}$ , και αφού $\displaystyle h^{\prime}(0)=3>0, \ \ h^{\prime}(1)=-3<0$ θα είναι:

$\displaystyle h$ γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left[0,\frac{1}{2}\right]$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle \left[\frac{1}{2},1\right]$

Έτσι, η μέγιστη τιμή της $\displaystyle h$ είναι ο αριθμός $\displaystyle h\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{25}$ .

Για την εύρεση των $\displaystyle x$ στα οποία η συνάρτηση $\displaystyle g$ έχει ελάχιστο, μέγιστο επιλύουμε τις εξισώσεις:

$\displaystyle sin^2(x)=0$ ή $\displaystyle sin^2(x)=1$ για το ελάχιστο

και την $\displaystyle sin^2(x)=\frac{1}{2}$ για το μέγιστο.

Παρατηρούμε ότι τα ακρότατα της $\displaystyle g$ παρουσιάζονται στα σημεία $\displaystyle \frac{k\pi}{4}$

Μία προφανής ρίζα της $\displaystyle h^{\prime}$ είναι ο αριθμός $\displaystyle \frac{1}{2}$ .
Δεν νομίζω ότι το
Μπορούμε τώρα να δείξουμε ότι δεν έχουμε άλλη ρίζα
ισχύει .

abgd · #9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 17, 2022 3:33 pm
Δεν νομίζω ότι το
Μπορούμε τώρα να δείξουμε ότι δεν έχουμε άλλη ρίζα
ισχύει .

Γιατί όχι;

Πιο αναλυτικά:

Η εξίσωση $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$ είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle \frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}=\frac{f(1-x)}{f^{\prime}(1-x)}$ .
Θεωρούμε τις συναρτήσεις:
$\displaystyle t_1(x)= \frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}, t_2(x)=\frac{f(1-x)}{f^{\prime}(1-x)}= t_1(1-x)$
Είναι:
$\displaystyle t_1^{\prime}(x)>0$ οπότε $\displaystyle t_1$ γνησίως αύξουσα και $\displaystyle t_2$ γνησίως φθίνουσα με το ίδιο σύνολο τιμών το $\displaystyle [-\frac{1}{2},1]$ . Το ζητούμενο έπεται εύκολα, (Bolzano, μονοτονία για την $\displaystyle t_1-t_2$ ).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

abgd έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 17, 2022 4:38 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 17, 2022 3:33 pm
Δεν νομίζω ότι το
Μπορούμε τώρα να δείξουμε ότι δεν έχουμε άλλη ρίζα
ισχύει .
Γιατί όχι;

Πιο αναλυτικά:

Η εξίσωση $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$ είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle \frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}=\frac{f(1-x)}{f^{\prime}(1-x)}$ .
Θεωρούμε τις συναρτήσεις:
$\displaystyle t_1(x)= \frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}, t_2(x)=\frac{f(1-x)}{f^{\prime}(1-x)}= t_1(1-x)$
Είναι:
$\displaystyle t_1^{\prime}(x)>0$ οπότε $\displaystyle t_1$ γνησίως αύξουσα και $\displaystyle t_2$ γνησίως φθίνουσα με το ίδιο σύνολο τιμών το $\displaystyle [-\frac{1}{2},1]$ . Το ζητούμενο έπεται εύκολα, (Bolzano, μονοτονία για την $\displaystyle t_1-t_2$ ).

Εχετε δίκιο.
Εκανα λάθος (στις πράξεις ήταν το λάθος)
Σας ζήτω συγνώμη για την ταλαιπωρία.

ksofsa · #11

Καλησπέρα!

Άλλη μια προσέγγιση για το πρόβλημα , στη μορφή που το έφεραν ο κύριος Θανάσης και ο abgd.

Έχουμε να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης:

$h(x)=f(x)f(1-x), 0\leq x\leq 1$ .

Ισοδύναμα, έχουμε να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης

$t(x,y)=\dfrac{(x^2+2x-1)(y^2+2y-1)}{(x^2+1)(y^2+1)}, x+y=1,0\leq x,y\leq 1$ .

Λόγω συμμετρίας , θεωρώ ότι $x\geq y$ .

Όμως,

$t(x,y)=\dfrac{(x^2+x-y)(y^2+y-x)}{(x^2+1)(y^2+1)}=\dfrac{(x^2+a^2)(y^2-a^2)}{(x^2+1)(y^2+1)},a=\sqrt{x-y}$ .

Είναι $(x^2+a^2)(y^2-a^2)\leq x^2y^2$ , διότι ισοδυναμεί με

$a^2(x^2-y^2)+a^4\geq 0$ , που ισχύει.

Επομένως,

$t(x,y)\leq \dfrac{x^2y^2}{(x^2+1)(y^2+1)}\leq \dfrac{x^2y^2}{(xy+1)^2}=\dfrac{1}{(1+\dfrac{1}{xy})^2}\leq \dfrac{1}{(1+4)^2}=\dfrac{1}{25}$ .

Ισότητα ,π.χ., για $a=0, x=y=\dfrac{1}{2}$ .

Για το ελάχιστο:

Είναι $a\leq 1$ .

Οπότε,

$\dfrac{y^2-a^2}{y^2+1}\geq \dfrac{y^2-1}{y^2+1}\Rightarrow \dfrac{x^2+a^2}{x^2+1}\cdot \dfrac{y^2-a^2}{y^2+1}\geq \dfrac{x^2+a^2}{x^2+1}\cdot \dfrac{y^2-1}{y^2+1}$ .

Όμως,

$\dfrac{x^2+a^2}{x^2+1}\cdot \dfrac{y^2-1}{y^2+1}\geq \dfrac{y^2-1}{y^2+1}$ , διότι $a,y^2\leq 1$ .

Ακόμη,

$\dfrac{y^2-1}{y^2+1}\geq -1\Leftrightarrow y^2\geq 0$ , που ισχύει.

Τελικά,

$t(x,y)\geq -1$ , με ισότητα για a=1, x=1,y=0

.

Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

Re: Ακρότατα σε τριγωνομετρικό περιβάλλον!

Μέλη σε σύνδεση