Πιο κοντά

KARKAR · #1

Στην ανισοτική σχέση : $\sin x< x< \tan x , x \in(0 , \dfrac{\pi}{2})$ , αναρωτηθήκαμε αν το

είναι πιο κοντά στο $\sin x$ ή στην $\tan x$ .

Δείξτε τώρα ότι : $\dfrac{1}{x+1}<ln\dfrac{x+1}{x}< \dfrac{1}{x} , x>0$ και αναρωτηθείτε αν το $ln\dfrac{x+1}{x}$ είναι πιο κοντά στο $\dfrac{1}{x+1}$ ή στο $\dfrac{1}{x}$ .

#2

Όσον αφορά το πρώτο ερώτημα, το $\displaystyle{x}$ είναι πιο κοντά στο $\displaystyle{\sin x}$ από ό,τι στο $\displaystyle{\tan x}$ , όπως μας εξασφαλίζει άμεσα ο Huygens

$\displaystyle{2\sin x+\tan x>3x}$ στο $\displaystyle{\left(0,\frac{\pi}{2}\right).}$

KARKAR · #3

Η ανισότητα που παραθέτει ο Θάνος είναι γνωστή σε όλους ( Άσκηση

- Β Ομάδας παράγραφος 2.6

, σελίδα

)

Η προέλευσή της ήταν σε μένα άγνωστη ( μέχρι σήμερα - Θάνο thanks ! ) , βλέπε πάντως εδώ .

Θέλουμε , λοιπόν , να δείξουμε ότι : $\tan x-x>x-\sin x$ . Αυτό είναι ισοδύναμο με το : $\tan x+\sin x >2x$ .

Θεωρούμε την συνάρτηση : $f(x)=\tan x+\sin x -2x , x\in (0 , \dfrac{\pi}{2})$ , της οποίας η παράγωγος είναι θετική κ.λ.π.

Η ανισότητα Huygens

, λέει κάτι ακόμη ισχυρότερο : $\tan x-x>2(x-\sin x) \: , \: x\in (0 , \dfrac{\pi}{2})$ .

Πιο κοντά

Πιο κοντά

Re: Πιο κοντά

Re: Πιο κοντά

Μέλη σε σύνδεση