Τριγωνομετρικό σύστημα

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3129
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Τριγωνομετρικό σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιούλ 21, 2020 11:40 pm

Να λυθεί το σύστημα

\cos a+\cos (a+x)+\cos (a+y)=0

\sin a+\sin (a+x)+\sin (a+y)=0

όπου a γνωστή γωνία.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12329
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τριγωνομετρικό σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 22, 2020 12:48 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Ιούλ 21, 2020 11:40 pm
Να λυθεί το σύστημα

\cos a+\cos (a+x)+\cos (a+y)=0

\sin a+\sin (a+x)+\sin (a+y)=0

όπου a γνωστή γωνία.
Θα υποθέσω ότι τα a,x,y είναι πραγματικοί.

Από την e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta, η δοθείσα γράφεται

\displaystyle{e^{ia}+e^{i(a+x)}+e^{i(a+y)}=0} (διότι το πραγματικό και το μιγαδικό της μέρος είναι οι δύο δοθείσες).

Απλοποιούμε το e^{ia} (που είναι μη μηδενικό αφού |e^{ia}|=1) οπότε \displaystyle{1+e^{ix}+e^{iy}=0}.

Το πραγματικό και το μιγαδικό της μέρος δίνουν

\cos x + \cos y =-1,\, \sin x +\sin y =0.

Τώρα είναι εύκολο. Π.χ. γράφεται ισοδύναμα

2\cos \dfrac {x+y}{2} \cos \dfrac {x-y}{2} =-1,\, 2\sin \dfrac {x+y}{2} \cos \dfrac {x-y}{2} =0\,(*)

Aπό την πρώτη είναι \cos \dfrac {x-y}{2}\ne 0 και άρα η δεύτερη δίνει \sin \dfrac {x+y}{2}=0, οπότε και  \cos \dfrac {x+y}{2}= \pm 1. Πίσω στις (*) παίρνουμε

\cos \dfrac {x-y}{2}=\pm \dfrac {1}{2},\, \sin \dfrac {x+y}{2}=0 που σημαίνει

 \dfrac {x-y}{2}= k\pi +(-1)^k \dfrac {\pi}{3},\, \dfrac {x+y}{2}= m\pi άρα με προσθαφαίρεση

x=(k+m)\pi +(-1)^k \dfrac {\pi}{3},\, y=(-k+m)\pi -(-1)^k\dfrac {\pi}{3}

Βάζοντας πίσω στο σύστημα (*) κρατάμε μόνο τις λύσεις m άρτιο και k περιττό, ή ανάποδα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3129
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρικό σύστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 22, 2020 8:43 pm

Οπως έγραψε και πιο πάνω ο Μιχάλης καταλήγουμε
στην
\displaystyle{1+e^{ix}+e^{iy}=0}.
Αλλά γνωρίζουμε ότι αν z_1,z_2,z_3 είναι μιγαδικοί
με \displaystyle z_1+z_2+z_3=0 και \displaystyle |z_1|=|z_2|=|z_3|=1
τότε τα z_1,z_2,z_3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.
Αρα
e^{ix}=e^{i\frac{3\pi }{4}}, e^{iy}=e^{-i\frac{3\pi }{4}}
η ανάποδα.
Λύνοντας τις τελευταίες βρίσκουμε τα x,y


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τριγωνομετρικό σύστημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τετ Ιούλ 22, 2020 10:09 pm

Ακόμα μία λύση:

Έχω :

cos^2(a+x)+sin^2(a+x)=1

[cosa+cos(a+y)]^2+[sina+sin(a+y)]^2=1

2+2[cos(a+y)cosa+sin(a+y)sina]=1

cosy=-\dfrac{1}{2}

Όμοια, cosx=-\dfrac{1}{2}.

Αναλύοντας τις αρχικές εξισώσεις και αντικαθιστώντας, παίρνω:

sina(sinx+siny)=cosa(sinx+siny)=0

Άρα, sinx+siny=0.

Ισχύουν \left | sinx \right |=\left | siny \right |=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Αν sinx=\dfrac{\sqrt{3}}2{}

παίρνω τις λύσεις:

(x,y)=(2\kappa \pi +\dfrac{2\pi }{3},2\lambda \pi -\dfrac{2\pi }{3})

Αν sinx=-\dfrac{\sqrt{3}}2{}

παίρνω τις λύσεις

(y,x)=(2\kappa \pi +\dfrac{2\pi }{3},2\lambda \pi -\dfrac{2\pi }{3})


Κώστας Σφακιανάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης