Δυο χρήσιμα αποτελέσματα

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3028
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Δυο χρήσιμα αποτελέσματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μάιος 14, 2020 6:59 pm

1)Αν d_{n}
είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των
1,2,3,.....,n
να δειχθεί ότι υπάρχει n_0
ώστε
\displaystyle d_{n}<3^n για κάθε n με n>n_0
(θέλει βαρεία εργαλεία)

2)Εστω n\geq 1 φυσικός.
Θεωρούμε το πολυώνυμο
\displaystyle P_{n}(x)=\frac{1}{n!}(x^n(1-x)^n)^{(n)}
(το έξω n σημαίνει ότι παραγωγίζουμε τόσες φορές)

Να δειχθεί ότι οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι ακέραιοι.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8396
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Δυο χρήσιμα αποτελέσματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μάιος 15, 2020 12:02 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Μάιος 14, 2020 6:59 pm
1)Αν d_{n}
είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των
1,2,3,.....,n
να δειχθεί ότι υπάρχει n_0
ώστε
\displaystyle d_{n}<3^n για κάθε n με n>n_0
(θέλει βαρεία εργαλεία)
Θα χρησιμοποιήσω το Θεώρημα των πρώτων αριθμών. Λέει ότι \pi(x) \sim \frac{x}{\log{x}} όπου \pi(x) το πλήθος των πρώτων αριθμών οι οποίοι είναι μικρότεροι ή ίσοι του x.

Έστω C = \log_{3} e. Τότε C > 1 οπότε υπάρχει n_0 ώστε για n > n_0 έχουμε \pi(n) < \frac{Cn}{\log{n}}.

Αν n φυσικός αριθμός και p πρώτος αριθμός, ορίζω ως k(p,n) το μέγιστο k ώστε p^k \leqslant n. Παρατηρούμε τώρα ότι

\displaystyle  \lcm(1,2,\ldots,n) = \prod_{p \leqslant n} p^{k(p,n)} \leqslant \prod_{p \leqslant n} n \leqslant n^{\pi(n)} < n^{\frac{Cn}{\log{n}}} = 3^n.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8396
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Δυο χρήσιμα αποτελέσματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μάιος 16, 2020 12:16 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Μάιος 14, 2020 6:59 pm
2)Εστω n\geq 1 φυσικός.
Θεωρούμε το πολυώνυμο
\displaystyle P_{n}(x)=\frac{1}{n!}(x^n(1-x)^n)^{(n)}
(το έξω n σημαίνει ότι παραγωγίζουμε τόσες φορές)

Να δειχθεί ότι οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι ακέραιοι.
Θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα γινομένου για μεγαλύτερες παραγώγους. Λέει ότι

\displaystyle  (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}g^{(n-k)}

Παίρνουμε

\displaystyle  P_n(x) =\frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n}  \binom{n}{k}\frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k} (-1)^{n-k} \frac{n!}{k!}(1-x)^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 (-1)^k x^{n-k}(1-x)^k

που προφανώς είναι πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. (Αφού είναι άθροισμα πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης