Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Σάβ Ιούλ 06, 2019 12:07 am

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακολουθίες \rm (a_n),(b_n),(c_n) για τις οποίες να ισχύει για κάθε \rm n\geq 1:

\bullet \rm c_n>0

\bullet \rm a_n<b_n

\bullet \rm a^4_n-2019a_n=b^4_n-2019b_n=c_n

ώστε \displaystyle{\rm \lim_{n\to +\infty} \dfrac{\sqrt {c_n}}{a_nb_n}}=-1


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2453
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιούλ 06, 2019 6:05 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Σάβ Ιούλ 06, 2019 12:07 am
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακολουθίες \rm (a_n),(b_n),(c_n) για τις οποίες να ισχύει για κάθε \rm n\geq 1:

\bullet \rm c_n>0

\bullet \rm a_n<b_n

\bullet \rm a^4_n-2019a_n=b^4_n-2019b_n=c_n

ώστε \displaystyle{\rm \lim_{n\to +\infty} \dfrac{\sqrt {c_n}}{a_nb_n}}=-1
Πολλές υπάρχουν.
Εστω f(x)=x^{4}-2019x

Είναι f((-\infty,0 ])=[0,\infty ) και γνησίως φθίνουσα στο (-\infty,0 ]

ενώ στο [100,\infty ) είναι γνησίως αύξουσα με \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty


Η (b_n) είναι οποιαδήποτε ακολουθία ώστε
i)b_{n}\geq 100,n\in \mathbb{N}
ii)b_{n}\rightarrow \infty

Προφανώς c_{n}=f(b_{n})

Το a_{n} είναι ο μοναδικός αρνητικός με c_{n}=f(a_{n})

Είναι φανερό ότι a_{n}\rightarrow -\infty

Εχουμε ότι
\displaystyle (\dfrac{\sqrt {c_n}}{a_nb_n}})^{4}=\frac{c_{n}c_{n}}{a_{n}^{4}b_{n}^{4}}=(1-\frac{2019}{a_{n}^{3}})(1-\frac{2019}{b_{n}^{3}})

παίρνοντας
n\rightarrow \infty
έχουμε ότι
\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }(\dfrac{\sqrt {c_n}}{a_nb_n}})^{4}=1

Επειδή η παράσταση είναι αρνητική προκύπτει ότι

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }(\dfrac{\sqrt {c_n}}{a_nb_n}})=-1


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:48 pm

Σταύρο, σε ευχαριστώ πολύ για τη λύση . Θα εξηγήσω πως προέκυψε το ερώτημα. Ας θυμίσω τη διατύπωση του προβλήματος.

Πρόβλημα 2 (Σαουδική Αραβία)
Έστω a,b διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί και c θετικός πραγματικός αριθμός. Αν ισχύει ότι \displaystyle{a^4-2019a=b^4-2019b=c,} να αποδείξετε ότι -\sqrt{c}<ab<0.

Δηλαδή το συμπέρασμα του προβλήματος που ετέθη είναι ότι \dfrac{\sqrt c}{ab}<-1.
Αναρωτήθηκα αν η σταθερά -1 βελτιώνεται. Η απάντηση είναι πως δεν βελτιώνεται. Το δικό μου παράδειγμα προέκυψε ως εξής:
Τα a,b ικανοποιούν τη σχέση (a+b)(a^2+b^2)=2019 με a<0<b.
Ψάχνω a+b κοντά στο μηδέν, π.χ. a+b=\dfrac{1}{n} (εδώ θα δούλευε κάθε μηδενική και θετική ακολουθία).Τότε a^2+b^2=2019n. Λύνοντας το σύστημα βρίσκω a=\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{2}\sqrt{4038n-\dfrac{1}{n^2}} και b=\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2}\sqrt{4038n-\dfrac{1}{n^2}}.
Προφανώς \dfrac{a}{b}\rightarrow-1.
Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι \dfrac{\sqrt c}{-ab}=\sqrt{-\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}-1} οπότε \dfrac{\sqrt c}{ab}\rightarrow-1.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης