Όμορφη...πιθανότητα

gomichael · #1

Να βρεθεί η πιθανότητα ένα τυχόν ρητό κλάσμα να είναι ανάγωγο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

gomichael έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 08, 2018 11:29 pm
Να βρεθεί η πιθανότητα ένα τυχόν ρητό κλάσμα να είναι ανάγωγο.

Το πρόβλημα είναι γνωστό και αποδίδεται στον Chebychev.

σχετικό είναι το άρθρο https://arxiv.org/pdf/1608.05435.pdf

Ας περιγράψω την απόδειξη.

Εστω

πρώτος.

Η πιθανότητα να διαιρεί τον αριθμό

είναι $\frac{1}{p}$

Η πιθανότητα να διαιρεί τους a,b

είναι $\frac{1}{p^{2}}$

Αρα η πιθανότητα να μην διαιρεί τουλάχιστον ένα από τους δύο είναι $1-\frac{1}{p^{2}}$

Ετσι η πιθανότητα οι a,b

να μην έχουν κοινό διαιρέτη εκτός του

(οπότε δεν θα έχουν πρώτο κοινό διαιρέτη)

είναι $\prod _{p}(1-\frac{1}{p^{2}})$
(το γινόμενο είναι πάνω σε όλους τους πρώτους)

Είναι γνωστό ότι $\frac{1}{\prod _{p}(1-\frac{1}{p^{2}})}=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6}$

Ετσι η ζητούμενη πιθανότητα είναι $\frac{6}{\pi ^{2}}$

gomichael · #3

Άμεση και απόλυτα τεκμηριωμένη απάντηση!
Συγχαρητήρια στον συνάδελφο Παπαδόπουλο Σταύρο!

Όμορφη...πιθανότητα

Όμορφη...πιθανότητα

Re: Όμορφη...πιθανότητα

Re: Όμορφη...πιθανότητα

Μέλη σε σύνδεση