Βολές σε κυκλικό στόχο, γενίκευση

ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Βολές σε κυκλικό στόχο, γενίκευση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Σάβ Φεβ 07, 2015 10:36 am

Σκοπευτής έριξε N βολές σε κυκλικό στόχο. Στις N-1 κατά σειρά βολές, M βολές ήταν καλύτερες από την πρώτη (πήγαν σε μικρότερη απόσταση από το κέντρο από ότι η πρώτη βολή).
Ποια η πιθανότητα η N-ιοστή βολή να ήταν καλύτερη από την πρώτη;
* Θεωρείστε την σκοπευτική ικανότητα του σκοπευτή σταθερή σε όλες τις βολές και την πιθανότητα δύο ή περισσότερες βολές να ισαπέχουν από το κέντρο μηδενική.

Ευθύμης


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8248
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Βολές σε κυκλικό στόχο, γενίκευση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Φεβ 09, 2015 7:21 pm

Έστω A το ενδεχόμενο η πρώτη από τις N-1 βολές να είναι η M+1 καλύτερη και έστω B το ενδεχόμενο η N-οστή βολή να είναι καλύτερη από την πρώτη.

Ζητάμε την πιθανότητα \displaystyle{ P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}.}

Από συμμετρία είναι P(A) = \frac{1}{N-1}. Το ενδεχόμενο B \cap A συμβαίνει όταν η πρώτη βολή είναι η M+2 καλύτερη και η τελευταία βολή είναι καλύτερη από την πρώτη. Υπάρχουν N! διαφορετικές διατάξεις για την τελική κατάταξη των βολών. Εξ' αυτών υπάρχουν ακριβώς (M+1)(N-2)! διατάξεις ώστε η πρώτη βολή να είναι η M+2 καλύτερη και η τελευταία βολή να είναι καλύτερη από την πρώτη. Αυτό γιατί υπάρχει ένας τρόπος να επιλέξουμε την θέση της πρώτης βολής, M+1 τρόποι για την επιλογή της θέσης της τελευταίας βολής και (N-2)! για την επιλογή της θέσης των υπολοίπων βολών. Οπότε είναι P(B \cap A) = \frac{M+1}{(N-1)N} και άρα η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με \frac{M+1}{N}.

-----------------------

Πιο γρήγορα και χωρίς δεσμευμένη πιθανότητα. Έστω \ast \cdots \ast 1 \ast \cdots \ast η διάταξη μέχρι στιγμής όπου υπάρχουν M αστεράκια πριν το 1 και N-M-2 αστεράκια μετά το 1. Η τελευταία βολή έχει N δυνατές θέσεις: Πριν το πρώτο αστεράκι, μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου, κ.τ.λ. Από συμμετρία είναι όλες ισοπίθανες. Όμως ακριβώς M+1 εξ αυτών είναι πριν το 1 οπότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι (M+1)/N.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Στατιστική-Πιθανότητες”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης