Ένα παιχνίδι

Άβαταρ μέλους
Silver
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 12:22 am

Ένα παιχνίδι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Silver » Τετ Σεπ 24, 2014 7:15 pm

Έστω ότι έχουμε μια παιχνιδομηχανή η οποία βγάζει τυχαίους θετικούς ακέραιους αριθμούς από το 1 ως και το 4 όποτε πατάμε ένα κουμπί, δηλαδή 1,2,3 και 4. Κερδίζουμε αν έρθει 1,2,3 και χάνουμε αν έρθει 4. Θα πατήσουμε το κουμπί και θα παίξουμε 50 φορές. Το παιχνίδι τελειώνει αν χάσουμε 3 διαδοχικές φορές, δηλαδή, αν έρθει για 3 συνεχόμενες φορές 4. Ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί αυτό;


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8242
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ένα παιχνίδι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Σεπ 27, 2014 1:33 pm

Έστω ότι παίζουμε n φορές. Συνολικά έχουμε 4^n διαφορετικά αποτελέσματα. Έστω T_n ο αριθμός των παιγνιδιών που δεν έχουν τρία συνεχόμενα τεσσάρια. Για n \geqslant 4, ακριβώς 3T_{n-1} από αυτά τα παιγνίδια δεν τελειώνουν με 4. Επίσης, 3T_{n-2} από αυτά τα παιγνίδια τελειώνουν με ακριβώς ένα 4 και 3T_{n-2} από αυτά τα παιγνίδια τελειώνουν με ακριβώς ένα 4.

Οπότε έχουμε την αναδρομική ακολουθία T_n = 3(T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}) για n \geqslant 4. Επίσης T_1=4,T_2=16 και T_3 = 64-1 = 63.

Από θεωρία ισχύει ότι T_n = r\alpha_1^n + s\alpha_2^n + t\alpha_3^n όπου \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 οι ρίζες της x^3 - 3x^2-3x-3 = 0 και r,s,t είναι σταθεροί αριθμοί οι οποίοι προκύπτουν από τις αρχικές συνθήκες. Δυστυχώς όμως η μορφή των ριζών δεν βοηθάει και τόσο στην περίπτωσή μας.

Οπότε προχωράμε να υπολογίσουμε τα T_4,T_5,\ldots,T_{50} αναδρομικά. Ο υπολογιστής μου λέει ότι T_{50} = 702492426173403296491012268976 και άρα η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με 1 - T_{50}/4^{50}=0.4458311888 σε δέκα δεκαδικά ψηφία.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Στατιστική-Πιθανότητες”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες