Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Δευ Απρ 01, 2013 8:59 am

Καλημέρα , Καλό μήνα!

Στον άξονα των πραγματικών αριθμών σημειώνουμε τυχαία ένα σημείο. Ποια είναι η πιθανότητα στο σημείο αυτό να αντιστοιχεί
α) ρητός αριθμός ;
β) άρρητος αριθμός ;


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Απρ 01, 2013 12:54 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε: Στον άξονα των πραγματικών αριθμών σημειώνουμε τυχαία ένα σημείο.
Με ποια κατανομή;


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Re: Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Δευ Απρ 01, 2013 2:46 pm

γράφω τυχαία με την έννοια ότι όλα τα σημεία του άξονα των πραγματικών αριθμών μπορούν να επιλεγούν με την ίδια πιθανότητα.(Ισοπίθανα ενδεχόμενα).


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Απρ 01, 2013 5:39 pm

Στράτο μάλλον εννοείς ομοιόμορφη κατανομή. Μπορεί να δειχθεί πως τέτοια κατανομή δεν υπάρχει στο \mathbb{R}. Υπάρχει όμως σε φραγμένα διααστήματα του \mathbb{R} π.χ. στο [0,1] και εκεί, επειδή οι ρητοί είναι αριθμήσιμοι, θα έχουμε πιθανότητα 0 να επιλέξουμε ρητό και πιθανότητα 1 να επιλέξουμε άρρητο.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1712
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Απρ 01, 2013 7:17 pm

Δημήτρη δεν είναι κατάλληλος ο όρος : σχεδόν βέβαιο, ότι είναι άρρητος.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Re: Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Τρί Απρ 02, 2013 12:11 pm

Δημήτρη σωστά το υπέθεσες. Τα σημεία της ευθείας των πραγματικών αριθμών μπορούν να τεθούν σε μια 1-1 αντιστοιχία με τα σημεία του διαστήματος \displaystyle{ 
[0,\,1] 
}.Αρα "πέφτουμε" σε ένα κλειστό διάστημα. το \displaystyle{ 
[0,\,1] 
} είναι υπεραριθμήσιμο σύνολο. Χρησιμοποιείς τομές Dedekind για να καταλήξεις ότι έχω πιθανότητα 0 να επιλέξω ρητό; κάτι μου διαφεύγει...


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Απρ 02, 2013 4:05 pm

Χρησιμοποιώ ότι οι ρητοί είναι αριθμήσιμοι.

Έστω p_x η πιθανότητα να επιλέξουμε το σημείο x. Από την ομοιομορφία, πρέπει p_x = p_y =: p για κάθε x,y. Ισχυρίζομαι ότι p = 0. Πράγματι αν p > 0 τότε υπάρχει n ώστε np > 1. Τότε όμως P(\{1/n,2/n,\ldots,n/n\}) = P(\{1/n\}) + \cdots + P(\{n/n\}) = np > 1 άτοπο. Όμως τότε για κάθε αριθμήσιμο σύνολο A έχουμε P(A) = \sum_{x\in A} P(\{x\}) = 0. Επειδή οι ρητοί στο [0,1] είναι αριθμησίμοι η πιθανότητα να επιλέξουμε κάποιον ρητό είναι 0.

Αυτό βέβαια δεν σημαίνει όπως σωστά επισήμανε ο Χρήστος ότι δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποιον ρητό. Σχεδόν σίγουρα όμως δεν θα επιλέξουμε ρητό.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Στατιστική-Πιθανότητες”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης