Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Καλημέρα , Καλό μήνα!

Στον άξονα των πραγματικών αριθμών σημειώνουμε τυχαία ένα σημείο. Ποια είναι η πιθανότητα στο σημείο αυτό να αντιστοιχεί
α) ρητός αριθμός ;
β) άρρητος αριθμός ;

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε: Στον άξονα των πραγματικών αριθμών σημειώνουμε τυχαία ένα σημείο.

Με ποια κατανομή;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #3

γράφω τυχαία με την έννοια ότι όλα τα σημεία του άξονα των πραγματικών αριθμών μπορούν να επιλεγούν με την ίδια πιθανότητα.(Ισοπίθανα ενδεχόμενα).

#4

Στράτο μάλλον εννοείς ομοιόμορφη κατανομή. Μπορεί να δειχθεί πως τέτοια κατανομή δεν υπάρχει στο $\mathbb{R}$ . Υπάρχει όμως σε φραγμένα διααστήματα του $\mathbb{R}$ π.χ. στο [0,1]

και εκεί, επειδή οι ρητοί είναι αριθμήσιμοι, θα έχουμε πιθανότητα

να επιλέξουμε ρητό και πιθανότητα

να επιλέξουμε άρρητο.

Christos.N · #5

Δημήτρη δεν είναι κατάλληλος ο όρος : σχεδόν βέβαιο, ότι είναι άρρητος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #6

Δημήτρη σωστά το υπέθεσες. Τα σημεία της ευθείας των πραγματικών αριθμών μπορούν να τεθούν σε μια 1-1 αντιστοιχία με τα σημεία του διαστήματος $\displaystyle{ [0,\,1] }$ .Αρα "πέφτουμε" σε ένα κλειστό διάστημα. το $\displaystyle{ [0,\,1] }$ είναι υπεραριθμήσιμο σύνολο. Χρησιμοποιείς τομές Dedekind για να καταλήξεις ότι έχω πιθανότητα 0 να επιλέξω ρητό; κάτι μου διαφεύγει...

#7

Χρησιμοποιώ ότι οι ρητοί είναι αριθμήσιμοι.

Έστω p_x

η πιθανότητα να επιλέξουμε το σημείο

. Από την ομοιομορφία, πρέπει p_x = p_y =: p

για κάθε

. Ισχυρίζομαι ότι p = 0

. Πράγματι αν p > 0

τότε υπάρχει

ώστε

. Τότε όμως $P(\{1/n,2/n,\ldots,n/n\}) = P(\{1/n\}) + \cdots + P(\{n/n\}) = np > 1$ άτοπο. Όμως τότε για κάθε αριθμήσιμο σύνολο

έχουμε $P(A) = \sum_{x\in A} P(\{x\}) = 0$ . Επειδή οι ρητοί στο [0,1]

είναι αριθμησίμοι η πιθανότητα να επιλέξουμε κάποιον ρητό είναι

.

Αυτό βέβαια δεν σημαίνει όπως σωστά επισήμανε ο Χρήστος ότι δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποιον ρητό. Σχεδόν σίγουρα όμως δεν θα επιλέξουμε ρητό.

Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

Re: Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

Re: Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

Re: Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

Re: Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

Re: Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

Re: Άξονας πραγματικών αριθμών και πιθανότητα

Μέλη σε σύνδεση