Διακύμανση διαδοχικών φυσικών

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται το δείγμα : $\displaystyle{1,...,n}$ με $n\in \mathbb N^*$ .

α) Να βρεθεί η διακύμανση του δείγματος ως συνάρτηση του $\displaystyle{n}$ .

β) Για ποιές τιμές του $\displaystyle{n}$ η διακύμανση είναι ακέραιος;

γ) Για ποιές τιμές του $\displaystyle{n}$ η τυπική απόκλιση είναι ακέραιος;

(Αυτοσχεδιασμός, με τα α) και β) σχετικά απλά. Για το γ) δεν έχω απάντηση...)

#2

Η τυπική απόκλιση ισούται με $\displaystyle{ \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}}$ (απλό). Αυτό είναι ακέραιος αν και μόνο αν ο

να είναι λύση της διοφαντικής εξίσωσης n^2 - 12m^2 = 1

η οποία είναι η εξίσωση Pell.

Από γνωστή θεωρία, αφού η θεμελιώδης λύση είναι η (7,2)

κάθε άλλη λύση είναι της μορφής $n + m\sqrt{3} = (7 + 2\sqrt{12})^k$ . Π.χ. για k=0

παίρνουμε

. Για

έχουμε $(7 + 2\sqrt{12})^2 = 97 + 28\sqrt{12}$ που δίνει την λύση n=97

κ.τ.λ.

Πιο συγκεκριμένα το

είναι λύση $\displaystyle{ n = \frac{(7 + 4\sqrt{3})^k - (7 - 4\sqrt{3})^k}{2}}$ για κάποιο φυσικό

. Η ακολουθία που δίνει τις τιμές του

είναι η $1,7,97,\ldots$ με αναδρομικό τύπο $x_{r+2} = 14x_{r+1}-x_r$ .

Επεξεργασία: Έκανα κάποιες τροποποιήσεις αφού στην αρχική μου λύση έλυσα την n^2 - 3m^2 = 1

βρίσκοντας επιπλέον λύσεις. Ευχαριστώ τον Γιώργο που παρατήρησε σε π.μ. ότι είχα αυτές τις επιπλέον λύσεις.

Γιώργος Απόκης · #3

Δημήτρη ευχαριστώ!

Γιώργος Απόκης · #4

Ο Δημήτρης απάντησε για το γ), δίνω τις απαντήσεις για τα α) και β)

α) Ισχύουν οι σχέσεις : $\displaystyle{1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}}$ (1) και $\displaystyle{1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$ (2)

H διακύμανση ισούται με $\displaystyle{s^2=\frac{1}{n}\left[1^2+2^2+...+n^2-\frac{1}{n}(1+2+...+n)^2 \right]\overset{(1),(2)}=}$

$\displaystyle{=\frac{1}{n}\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{1}{n}\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \right]=...=\frac{n^2-1}{12}}$ .

β) Αν το $\displaystyle{n}$ είναι άρτιος, τότε το $\displaystyle{n^2-1}$ δε διαιρείται με $\displaystyle{12}$ , επομένως το $\displaystyle{n}$ είναι περιττός.

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις $\displaystyle{(k \in \mathbb Z)}$ :

$\displaystyle{\bullet n=12k+1}$ , τότε $\displaystyle{s^2=12k^2+2k\in \mathbb Z}$

$\displaystyle{\bullet n=12k+3}$ , τότε $\displaystyle{s^2=\frac{2}{3}+12k^2+6k\notin \mathbb Z}$

$\displaystyle{\bullet n=12k+5}$ , τότε $\displaystyle{s^2=12k^2+10k+2\in \mathbb Z}$

$\displaystyle{\bullet n=12k+7}$ , τότε $\displaystyle{s^2=12k^2+14k+4 \in \mathbb Z}$

$\displaystyle{\bullet n=12k+9}$ , τότε $\displaystyle{s^2=\frac{20}{3}+12k^2+18k\notin \mathbb Z}$

$\displaystyle{\bullet n=12k+11}$ , τότε $\displaystyle{s^2=12k^2+22k+10\in \mathbb Z}$ .

Tελικά, $\displaystyle{n=12k+m,~k\in\mathbb Z,~m\in\{1,5,7,11\}}$ .

Διακύμανση διαδοχικών φυσικών

Διακύμανση διαδοχικών φυσικών

Re: Διακύμανση διαδοχικών φυσικών

Re: Διακύμανση διαδοχικών φυσικών

Re: Διακύμανση διαδοχικών φυσικών

Μέλη σε σύνδεση