Τυχαία;

#1

Με ποια πιθανότητα μια χορδή

ενός κύκλου (O, R)

, η οποία επιλέγεται τυχαία, είναι μεγαλύτερη από την πλευρά

του εγγεγραμμένου στον κύκλο ισοπλεύρου τριγώνου;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

giannis84 · #2

θα σας δείξω τον συλλογισμό μου αν και νομίζω ότι είναι λάθος.
Επειδή προφανώς ένας κύκλος έχει άπειρες χορδές δεν μπορούμε να δουλέψουμε με τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας.

Άρα χρειάζεται να προσδιορίσουμε τον ''χώρο'' στον οποίο θα κινούνται αυτές οι χορδές.

Μία χορδή που ξεκίνα από κάποια κορυφή τριγώνου και περνάει εντός του τριγώνου(καταλήγει δηλαδή στο τόξο που είναι απέναντι απο την συγκεκριμένη κορυφη του τριγώνου) είναι μεγαλύτερη από την πλευρά ενός εγγεγραμμενου ισόπλευρου τριγώνου $l=R\sqrt{3}$ . Προφανώς το ίδιο συμβαίνει αν φέρουμε χορδή και από τις άλλες δύο κορυφές του τριγώνου. Άρα υπάρχουν 3 ίσες περιοχές.
Η κάθε εγγεγραμμένη γωνία του τριγώνου αντιστοιχεί σε τόξο $2\pi\frac{R}{3}$

Άρα $\displaystyle p=\frac{{2\pi\frac{R}{3}}}{2{\pi}R}}=\frac{1}{3}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

giannis84 έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
πιστεύω ότι είναι λάθος ο συλλογισμός μου γιατί δεν χρησιμοποίησα το "τυχαία" χορδή αλλά αναγκάστηκα να πάρω την ειδική περίπτωση όπου κάθε χόρδη ξεκίνα από τις κορυφές του τριγώνου. Διαφορετικά θεωρώ ότι δεν μπορούμε να βρουμε αυτη την πιθανότητα.

Ευχαριστώ τον Γιάννη για την άμεση και πολύ ενδιαφέρουσα προσέγγιση.

Νομίζω ότι ΔΕΝ είναι λάθος ο συλλογισμός του Γιάννη, γιατί η επιλογή της κορυφής τριγώνου γίνεται τυχαία. Δίνω το σχήμα και μια παραλλαγή της λύσης του Γιάννη.

: 21-01-2012 Γεωμετρία.jpg (20.11 KiB) Προβλήθηκε 1640 φορές

Θεωρούμε τυχαία χορδή

κύκλου (O, R). Φέρνουμε τις χορδές $\displaystyle MC = MA = R\sqrt 3$ .

Τότε το MAC

είναι ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο στον (O, R)

Αν το

είναι μεταξύ των A, C

τότε το κυρτό τόξο $\displaystyle \mathop {MN}\limits^ \cap$ είναι μεγαλύτερο από $\displaystyle 120^\circ$ οπότε $\displaystyle MN > R\sqrt 3$ .

Το ενδεχόμενο αυτό έχει πιθανότητα $\displaystyle \frac{1}{3}$ , αφού $\displaystyle \mathop {AC}\limits^ \cap = 120^\circ$

Η περίπτωση το

να ταυτίζεται με τα A, C

ονομάζεται "υπαρκτό ενδεχόμενο μηδενικής πιθανότητας".

Ας περιμένουμε κι άλλες προσεγγίσεις!

#4

Θέλοντας να συμβάλλω στον εύλογο προβληματισμό των συναδέλφων διδασκόντων σε Α΄Λυκείου για το περιεχόμενο της διδασκαλίας των Πιθανοτήτων (βλέπε κι εδώ), θέλω να παρατηρήσω ότι το ζητούμενο ΔΕΝ πρέπει να είναι η εξοικείωση των μαθητών με τις πράξεις στις ιδιότητες των ενδεχομένων, αλλά η κατανόηση βασικών εννοιών. Γι' αυτό πιστεύω ότι η μεταφορά αυτούσιου του κεφαλαίου από τη Γ΄ στην Α΄ Λυκείου είναι επιεικώς ατυχής!

Στο θέμα μας:
Αφού κανείς, εκτός του Γιάννη και του υπογράφοντα, δεν ενδιαφέρθηκε ακόμα

, ας δούμε δύο ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ (σωστές ; ) προσεγγίσεις που καταλήγουν σε άλλα αποτελέσματα!

: 22-01-2012 Γεωμετρία.jpg (24.61 KiB) Προβλήθηκε 1577 φορές

Θεωρούμε τυχαία ακτίνα

του κύκλου.

Επιλέγουμε σ' αυτήν τυχαίο σημείο

. Η πιθανότητα να είναι $OK < \frac{R}{2}$ είναι $\frac{1}{2}$ .

Θεωρούμε το

μέσο χορδής

, οπότε το

είναι το απόστημα στη χορδή.

Είναι $\displaystyle MN > R\sqrt 3 \Leftrightarrow OK < \frac{R}{2}$ , άρα η πιθανότητα "η τυχαία χορδή

να είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του εγγεγραμμένου στον κύκλο ισοπλεύρου τριγώνου"
είναι $\displaystyle \frac {1} {2}$

Όμως.....

Θεωρούμε τυχαία χορδή

κύκλου (O, R).

Θεωρούμε το

μέσο χορδής

, οπότε το

είναι το απόστημα στη χορδή.

Είναι $\displaystyle MN > R\sqrt 3 \Leftrightarrow OK < \frac{R}{2}$ .

Τότε το

είναι σημείο του κυκλικού δίσκου $\displaystyle \left( {O,\;\frac{R}{2}} \right)$ , δηλαδή εσωτερικό του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο ισόπλευρο τρίγωνο ABC

, που είναι εγγεγραμμένο στον (O, R)

.

To εμβαδό του κυκλικού δίσκου $\displaystyle \left( {O,\;\frac{R}{2}} \right)$ είναι $\displaystyle \frac{{\pi R^2 }}{4}$ , ενώ του κυκλικού δίσκου (O, R)

είναι $\displaystyle \pi R^2$ , οπότε η πιθανότητα "η τυχαία χορδή

να είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του εγγεγραμμένου στον κύκλο ισοπλεύρου τριγώνου" είναι $\displaystyle \frac {1} {4}$

Ελπίζω να σας παρακίνησα το ενδιαφέρον! Περιμένω .... κι άλλες προσεγγίσεις.

(Περισσότερες πληροφορίες, μετά τις αναρτήσεις σας...)

giannis84 · #5

Στην τρίτη περίπτωση ουσιαστικά για ακτίνα 1έχετε:
$\displaystyle\Omega=[(x,y): x^2+y^2\leq1}]$
$\displaystyle\Omega'=[(x,y):x^2+y^2\leq\frac{1}{2}]$

Αν αντί για καρτεσιανές συντεταγμένες χρησιμοποιήσουμε πολικές, τότε έχουμε τους εξής δειγματικούς χώρους:
$\displaystyle \Omega=[(r,\theta):0\leq r \leq1, 0\leq\theta\leq\ 2\pi]$
$\displaystyle \Omega'=[(r,\theta):0\leq r \leq \frac{1}{2}, 0\leq\theta\leq\ 2\pi]$

Οπότε $\displaystyle P=\frac{\mu(\Omega')}{\mu(\Omega)}=\frac{2\pi\cdot\frac{1}{2}}{2\pi\cdot1}=\frac{1}{2}$

#6

Ευχαριστώ τον Γιάννη για την ενασχόλησή του!

και τον Δημήτρη (Χριστοφίδη) για την διακριτική αναφορά του με π.μ. για την πηγή του θέματος!

Ο Δημήτρης ή όποιος φίλος επιθυμεί, ας αναρτήσει τις ενδιαφέρουσες ιστορικές πληροφορίες για το θέμα!

Μια ακόμα (λανθασμένη...) προσέγγιση. Το ερώτημα είναι πού εντοπίζεται το λάθος;

: 24-01-2012 Γεωμετρία.jpg (21.3 KiB) Προβλήθηκε 1482 φορές

Έστω ημικύκλιο (O, R)

με διάμετρο

.

Φέρνουμε τη χορδή $\displaystyle MC = R\sqrt 3$ .

Θεωρούμε τυχαία χορδή

του ημικυκλίου [O, R]

.

Είναι $0 \leq MN \leq 2R$ , δηλαδή καθώς το

διατρέχει την ημιπεριφέρεια από το

προς το

, το μήκος του

αυξάνει παίρνοντας τιμές στο διάστημα [0, 2R]

.

Το εύρος των δυνατών τιμών του μήκους του

είναι

.

Το εύρος των ευνοϊκών τιμών του μήκους του

ώστε "η τυχαία χορδή

να είναι μεγαλύτερη από $\displaystyle R\sqrt 3$ " είναι $\displaystyle 2R - R\sqrt 3$ .

Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία στο αντίθετο ημικύκλιο του κύκλου (O, R)

, προκύπτει ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου "η τυχαία χορδή

να είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του εγγεγραμμένου στον κύκλο ισοπλεύρου τριγώνου" είναι $\displaystyle \frac{{{\rm{R}}\left( {{\rm{2 - }}\sqrt {\rm{3}} } \right)}}{{2R}} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}$

#7

Με την ιλιγγιώδη ταχύτητα που αναρτώνται νέα θέματα στο

κάποια άκρως ενδιαφέροντα

όπως το παρόν διαφεύγουν της απαιτούμενης προσοχής μας!

Αυτός και μόνο, είμαι σίγουρος γι' αυτό, είναι ο λόγος που δεν ενεπλάκησαν άλλοι πλην του Γιάννη και του Δημήτρη στο ενδιαφέρον ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΤΟΥ J. BERTRAND (1899).

Τα διαφορετικά αποτελέσματα στη λύση κάθε προβλήματος οφείλονται στο ότι κάθε φορά δίνουμε διαφορετική σημασία στη λέξη ΤΥΧΑΙΑ, δηλαδή επιλέγουμε διαφορετικό Δειγματικό χώρο.

Με το παραπάνω ο J.B. επεδίωξε να αναδείξει την αναγκαιότητα της Αξιωματικής Θεμελίωσης της Θεωρίας των Πιθανοτήτων. Την αναγκαιότητα αυτή ανέδειξε και ο Hilbert στην περίφημη λίστα του 1900 με τα προβλήματα προς επίλυση στον 20ο αιώνα.
Η θεμελίωση έγινε το 1933 από τον Α.Ν. Kolmogorov.

Την ιδέα για τις προηγούμενες αναρτήσεις πήρα από ένα άρθρο του Α. Αδαμόπουλου σε παλαιό τεύχος της ΔΙΑΣΤΑΣΗΣ (παρ. Κ. Μακεδονίας Ε.Μ.Ε.). Οι διατυπώσεις των "λύσεων" είναι δικές μου, οπότε και τυχόν αβλεψίες και λάθη με βαρύνουν αποκλειστικά!

Αναζητώντας περισσότερα για τη Γεωμετρική πιθανότητα αλίευσα ένα ενδιαφέρον κείμενο του συναδέλφου Δημήτριου Καλυκάκη από το Ηράκλειο Κρήτης.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
Η γεωμετρική πιθανότητα είναι επέκταση της κλασικής πιθανότητας στη περίπτωση που ο δειγματικός χώρος δεν είναι πεπερασμένος. Όταν είναι, για παράδειγμα, ένα υποσύνολο του επιπέδου με θετικό εμβαδόν.

ΟΡΙΣΜΟΣ (Γεωμετρική Πιθανότητα): Αν Ω είναι ένας δειγματικός χώρος, που ως σύνολο είναι υποσύνολο του επιπέδου με θετικό εμβαδόν, και οποιεσδήποτε στοιχειώδεις περιοχές του είναι εξίσου πιθανές, τότε η πιθανότητα ενός ενδεχομένου $\displaystyle {\rm A} \subset \Omega$ , συμβολιζόμενη Ρ(Α), δίδεται από τη σχέση $\displaystyle {\rm P}({\rm A}) = \frac{{\varepsilon \mu \beta ({\rm A})}}{{\varepsilon \mu \beta (\Omega )}}$
όπου, $\displaystyle \varepsilon \mu \beta ({\rm A})$ είναι το εμβαδόν του ενδεχομένου Α και $\displaystyle \varepsilon \mu \beta (\Omega )$ είναι το εμβαδόν του δειγματικού χώρου Ω.

Συχνά, το ενδεχόμενο Α καλείται και «ευνοϊκή περιοχή» του πειράματος τύχης.

H γεωμετρική πιθανότητα είναι ειδική περίπτωση της πιθανότητας κατά Kolmogorov, δηλαδή ικανοποιεί τα ακόλουθα τρία αξιώματα:

Αξίωμα 1: $\displaystyle 0 \le {\rm P}({\rm A}) \le 1$ , για κάθε ενδεχόμενο Α.

Αξίωμα 2: $\displaystyle {\rm P}(\Omega ) = 1$ .

Αξίωμα 3: $\displaystyle {\rm P}({\rm A} \cup {\rm B}) = {\rm P}({\rm A}) + {\rm P}({\rm B})$ , για οποιαδήποτε δύο ενδεχόμενα Α, Β με $\displaystyle {\rm A} \cap {\rm B} = 0$ .

Ο έλεγχος του παραπάνω ισχυρισμού είναι φυσικά τετριμμένος.

Υπό το πρίσμα της γεωμετρικής πιθανότητας, οι βασικοί κανόνες του λογισμού των πιθανοτήτων

$\displaystyle {\rm P}({\rm A}) + {\rm P}({\rm A}') = 1$ ,

$\displaystyle {\rm P}({\rm A} \cup {\rm B}) = {\rm P}({\rm A}) + {\rm P}({\rm B}) - {\rm P}({\rm A} \cap {\rm B})$

είναι άμεσες συνέπειες της προσθετικής ιδιότητας του εμβαδού. Πράγματι, αν εφαρμόσουμε τη σχέση (2) στους παραπάνω δύο κανόνες και απαλείψουμε τους παρονομαστές, έχουμε

$\displaystyle \varepsilon \mu \beta ({\rm A}) + \varepsilon \mu \beta ({\rm A}') = \varepsilon \mu \beta (\Omega )$ ,

$\displaystyle \varepsilon \mu \beta ({\rm A} \cup {\rm B}) = \varepsilon \mu \beta ({\rm A}) + \varepsilon \mu \beta ({\rm B}) - \varepsilon \mu \beta ({\rm A} \cap {\rm B})$ .

Σημείωση: Ο λόγος που αφαιρούμε το $\displaystyle \varepsilon \mu \beta ({\rm A} \cap {\rm B})$ από το $\displaystyle \varepsilon \mu \beta ({\rm A}) + \varepsilon \mu \beta ({\rm B})$ για να προκύψει το $\displaystyle \varepsilon \mu \beta ({\rm A} \cup {\rm B})$ , είναι ότι το $\displaystyle \varepsilon \mu \beta ({\rm A} \cap {\rm B})$ έχει υπολογιστεί δύο φορές, αφού το $\displaystyle {\rm A} \cap {\rm B}$ περιέχεται και στο Α και στο Β.

Οπότε, ΘΕΤΩ τώρα το ερώτημα:

Θα δεχτούμε κάποια από τις παραπάνω ή κάποια άλλη ως ΜΟΝΑΔΙΚΗ λύση στο πρόβλημα του J. Bertrand με βάση την Αξιωματική θεμελίωση των Πιθανοτήτων;

#8

Το θέμα είναι ότι το πρόβλημα δεν είναι καλά προσδιορισμένο αφού δεν λέει με ποιο τρόπο γίνεται η τυχαία επιλογή της χορδής. Δεν υπάρχει κάποια λύση που να μπορούμε να πούμε πως είναι η σωστή ενώ οι άλλες είναι λάθος.

Για να είναι το πρόβλημα σαφές πρέπει να μας δίνονται αρκετές λεπτομέρειες ώστε να είναι σαφές σε ποιον χώρο πιθανότητας δουλεύουμε. Ας θυμηθούμε ότι ένας χώρος πιθανότητας $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ αποτελείται από ένα μη κενό σύνολο $\Omega$ , μια οικογένεια υποσυνόλων $\mathcal{F}$ με τις εξής ιδιότητες:
(α) $\emptyset \in \mathcal{F}$ ,
(β) $A \in \mathcal{F} \Rightarrow \Omega \setminus A \in \mathcal{F}$ ,
(γ) $\displaystyle{A_1,A_2,\ldots \in \mathcal{F} \Rightarrow A_1 \cup A_2 \cup \cdots \in \mathcal{F}}$
και τέλος από μια συνάρτηση $\mathbb{P}:\mathcal{F} \to [0,1]$ με τις εξής ιδιότητες
(1) $\mathbb{P}(\Omega) = 0$ ,
(2) $\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(\Omega\setminus A) = 1$ για κάθε $A \in \mathcal{F}$ ,
(3) $\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(A_2) + \cdots$ για κάθε $A_1,A_2,\ldots \in \mathcal{F}$ το οποία είναι ξένα ανά δύο.

Αν ο $\Omega$ είναι πεπερασμένος τα πράγματα είναι απλά. Συνήθως παίρνουμε $\mathcal{F}$ να είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του $\Omega$ και αρκεί να μας δοθούν οι τιμές του $\mathbb{P}$ σε όλα τα μονοσύνολα για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε τις τιμές του σε όλα τα υπόλοιπα σύνολα.

Για τους άπειρους δειγματικούς χώρους χρειάζεται περισσότερη προσοχή τόσο στον ορισμό του $\mathcal{F}$ όσο και στον ορισμό του $\mathbb{P}$ . Στην περίπτωσή μας είναι σαφές ότι ο $\Omega$ είναι ο χώρος όλων τον χορδών του κύκλου αλλά όπως είδαμε υπάρχουν αρκετοί διαφορετικοί τρόποι να ορίσουμε την πιθανότητα $\mathbb{P}$ σε υποσύνολα του $\Omega$ με κάθε ένα εκ των οποίων να έχει αρκετή συμμετρία στον ορισμό του ώστε να μπορεί να θεωρηθεί ότι η τυχαία επιλογή της ευθείας γίνεται ομοιόμορφα.

giannis84 · #9

Ένα άλλο πολύ ενδιαφέρον θέμα που σχετίζεται με την έννοια της γεωμετρικής πιθανότητας είναι το πρόβλημα της βελονας του Buffon

Μία βελόνα μήκους L<d

ρίχνεται τυχαία στο επίπεδο το οποίο είναι χωρισμένο με παράλληλες γραμμές σε απόσταση

η μία από την άλλη. Ποια η πιθανότητα ότι η βελόνα θα διασταυρώσει μία από τις ευθείες του επιπέδου;

parmenides51 · #10

giannis84 έγραψε:Ένα άλλο πολύ ενδιαφέρον θέμα που σχετίζεται με την έννοια της γεωμετρικής πιθανότητας είναι το πρόβλημα της βελονας του Buffon

Μία βελόνα μήκους ρίχνεται τυχαία στο επίπεδο το οποίο είναι χωρισμένο με παράλληλες γραμμές σε απόσταση η μία από την άλλη. Ποια η πιθανότητα ότι η βελόνα θα διασταυρώσει μία από τις ευθείες του επιπέδου;

εδώ

Τυχαία;

Τυχαία;

Re: Τυχαία;

Re: Τυχαία;

Re: Τυχαία;

Re: Τυχαία;

Re: Τυχαία;

Re: Τυχαία;

Re: Τυχαία;

Re: Τυχαία;

Re: Τυχαία;

Μέλη σε σύνδεση