Πρόβλημα στις πιθανότητες !

[Μπάμπης Στεργίου]

Η Στέλα βρίσκεται στην αίθουσα επιβίβασης του αεροδρομίου για πτήση προς Παρίσι.Πίσω της είναι ακόμα άλλα 99 άτομα με τελευταίο τον Τάκη. Τη στιγμή της επιβίβασης η Στέλα βλέπει πως έχει ξεχάσει το απόκομα του εισιτηρίου της και κάθεται σε μια τυχαία θέση στο αεροπλάνο . Από κει και πέρα, οι επιβάτες που ακολουθούν είτε κάθονται στη θέση που τους αναλογεί, αν αυτή δεν είναι πιασμένη ή κάθονται τυχαία όπου βρουν ελεύθερη θέση. Ποια είναι η πιθανότητα ο Τάκης να καθίσει στη θέση που γράφει το εισιτήριό του ;

Μπάμπης

[Σεραφείμ]

Έστω είναι το ενδεχόμενο "ο Τάκης να καθίσει στην θέση του".

Ο Τάκης δεν θα καθίσει στην θέση του, αν η Κατερίνα πιάσει την θέση του -οστού επιβάτη και o -στός επιβάτης πιάσει την θέση του Τάκη,
καθώς επίσης αν η Κατερίνα πιάσει την θέση του Τάκη.

Αν θεωρήσουμε το παραπάνω ενδεχόμενο τότε , διότι η πιθανότητα να επιλέξει η Κατερίνα την -στη θέση είναι , ο -στός επιβάτης έχει να επιλέξει μία θέση από τις εναπομείνασες θέσεις, μία εκ των οποίων είναι του Τάκη, καθώς και ότι τα ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα.

Άρα . Επομένως .

[Demetres]

Δεν θέλω να δώσω ακόμη την απάντηση επειδή το πρόβλημα το γνώριζα αλλά η απάντηση του Σεραφείμ είναι λανθασμένη. Μπορεί π.χ. η Κατερίνα να καθίσει στην θέση του 10ου επιβάτη, ο 10ος επιβάτης στην θέση του 50ου και ο 50ος στην θέση του Τάκη κ.τ.λ.

[Έχω την εντύπωση μάλιστα πως το έχω ξαναδώσει αυτό το πρόβλημα.]

[Σεραφείμ]

Χμ .. όντως .. είναι δύσκολο το μέτρημα .. για να δούμε ..

[parmenides51]

εδώ

[Μπάμπης Στεργίου]

Σε ένα αρχείο που έχω τυπωμένο αναφέρεται ότι το πρόβλημα αυτό είναι από το περιοδικό College Math Journal, problem 735 , September 2003 και η λύση που ακολουθεί είναι από κάποιον Stan.Ο Αχιλλέας που σε αυτά τα περιοδικά έχει πρόσβαση -ή οποιοσδήποτε άλλος - μπορεί ίσως να βρει περισσότερες λεπτομέρειες.

Η λύση είναι στοιχειώδης : Αν κάποια στιγμή ένας επιβάτης - εκτός του Τάκη - αλλά μέσα σε αυτούς και η Στέλλα , καθίσει σε μία από τις θέσεις της Στέλλας ή του Τάκη, όλοι οι άλλοι που θα ακολουθήσουν θα καθίσουν στις κανονικές τους θέσεις και έτσι η άλλη θέση θα μείνει άδεια.Άρα η αδειανή θέση στο τέλος θα είναι της Στέλλας ή του Τάκη.Από τη στιγμή που το άτομο που κάθεται σε μια από τις δύο αυτές θέσεις δεν έχει πληροφορίες για το ποια θέση ανήκει σε ποιον, η πιθανότητα να είναι η άδεια θέση του Τάκη είναι 50-50.

Μπάμπης