Πρόβλημα στις πιθανότητες !

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5354
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Πρόβλημα στις πιθανότητες !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Ιαν 03, 2012 8:40 am

Η Στέλα βρίσκεται στην αίθουσα επιβίβασης του αεροδρομίου για πτήση προς Παρίσι.Πίσω της είναι ακόμα άλλα 99 άτομα με τελευταίο τον Τάκη. Τη στιγμή της επιβίβασης η Στέλα βλέπει πως έχει ξεχάσει το απόκομα του εισιτηρίου της και κάθεται σε μια τυχαία θέση στο αεροπλάνο . Από κει και πέρα, οι επιβάτες που ακολουθούν είτε κάθονται στη θέση που τους αναλογεί, αν αυτή δεν είναι πιασμένη ή κάθονται τυχαία όπου βρουν ελεύθερη θέση. Ποια είναι η πιθανότητα ο Τάκης να καθίσει στη θέση που γράφει το εισιτήριό του ;

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Πρόβλημα στις πιθανότητες !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τρί Ιαν 03, 2012 1:13 pm

Έστω X είναι το ενδεχόμενο "ο Τάκης να καθίσει στην θέση του".

Ο Τάκης δεν θα καθίσει στην θέση του, αν η Κατερίνα πιάσει την θέση του n-οστού επιβάτη (n=2,3, .. , 99) και o n-στός επιβάτης πιάσει την θέση του Τάκη,
καθώς επίσης αν η Κατερίνα πιάσει την θέση του Τάκη.

Αν θεωρήσουμε X_n το παραπάνω ενδεχόμενο τότε \displaystyle{P\left( {{X_n}} \right) = \frac{1}{{100}} \cdot \frac{1}{{101 - n}}} , διότι η πιθανότητα να επιλέξει η Κατερίνα την n-στη θέση είναι \displaystyle{\frac{1}{{100}}} , ο n-στός επιβάτης έχει να επιλέξει μία θέση από τις 100-(n-1) εναπομείνασες θέσεις, μία εκ των οποίων είναι του Τάκη, καθώς και ότι τα ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα.

Άρα \displaystyle{P\left( {X'} \right) = \frac{1}{{100}}\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + .. + 1} \right)} . Επομένως \displaystyle{P\left( X \right) = 1 - \frac{1}{{100}}\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + .. + 1} \right)} .


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8261
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πρόβλημα στις πιθανότητες !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιαν 03, 2012 1:26 pm

Δεν θέλω να δώσω ακόμη την απάντηση επειδή το πρόβλημα το γνώριζα αλλά η απάντηση του Σεραφείμ είναι λανθασμένη. Μπορεί π.χ. η Κατερίνα να καθίσει στην θέση του 10ου επιβάτη, ο 10ος επιβάτης στην θέση του 50ου και ο 50ος στην θέση του Τάκη κ.τ.λ.

[Έχω την εντύπωση μάλιστα πως το έχω ξαναδώσει αυτό το πρόβλημα.]


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Πρόβλημα στις πιθανότητες !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τρί Ιαν 03, 2012 1:55 pm

Χμ .. όντως .. είναι δύσκολο το μέτρημα .. για να δούμε ..


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Πρόβλημα στις πιθανότητες !

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τετ Ιαν 25, 2012 3:17 am



Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5354
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Πρόβλημα στις πιθανότητες !

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Ιαν 25, 2012 10:56 pm

Σε ένα αρχείο που έχω τυπωμένο αναφέρεται ότι το πρόβλημα αυτό είναι από το περιοδικό College Math Journal, problem 735 , September 2003 και η λύση που ακολουθεί είναι από κάποιον Stan.Ο Αχιλλέας που σε αυτά τα περιοδικά έχει πρόσβαση -ή οποιοσδήποτε άλλος - μπορεί ίσως να βρει περισσότερες λεπτομέρειες.

Η λύση είναι στοιχειώδης : Αν κάποια στιγμή ένας επιβάτης - εκτός του Τάκη - αλλά μέσα σε αυτούς και η Στέλλα , καθίσει σε μία από τις θέσεις της Στέλλας ή του Τάκη, όλοι οι άλλοι που θα ακολουθήσουν θα καθίσουν στις κανονικές τους θέσεις και έτσι η άλλη θέση θα μείνει άδεια.Άρα η αδειανή θέση στο τέλος θα είναι της Στέλλας ή του Τάκη.Από τη στιγμή που το άτομο που κάθεται σε μια από τις δύο αυτές θέσεις δεν έχει πληροφορίες για το ποια θέση ανήκει σε ποιον, η πιθανότητα να είναι η άδεια θέση του Τάκη είναι 50-50.

Μπάμπης


Απάντηση

Επιστροφή σε “Στατιστική-Πιθανότητες”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης