Η τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη

perpant
Δημοσιεύσεις: 451
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Η τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Σάβ Δεκ 10, 2011 11:46 pm

Τοποθετώ το θέμα σ΄αυτόν το φάκελο, γιατί δεν είμαι σίγουρος για το που ανήκει. Αν θεωρήσουν οι συντονιστές ότι ανήκει αλλού, το μετακινούν.

Να βρείτε την πιθανότητα να έχετε μόλις εισπνεύσει τουλάχιστον ένα μόριο αέρα από εκείνα που εξέπνευσε ο Αρχιμήδης το 212 π.Χ. κατά την τελευταία του εκπνοή. Δίνονται τα στοιχεία:
\displaystyle{ 
A = 2,2 \cdot 10^{22} } (πλήθος μορίων αέρα μιας εισπνοής ή εκπνοής) και
\displaystyle{ 
N = 10^{44} } (πλήθος μορίων αέρα στην ατμόσφαιρα της γης)

Σημείωση: Οι αριθμοί A και N, αποτελούν προσεγγίσεις της πραγματικότητας


Παντούλας Περικλής
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4230
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Η τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Δεκ 11, 2011 12:29 am

perpant έγραψε: \displaystyle{ 
A = 2,2 \cdot 10^{22} } (πλήθος μορίων αέρα μιας εισπνοής ή εκπνοής) και
\displaystyle{ 
N = 10^{44} } (πλήθος μορίων αέρα στην ατμόσφαιρα της γης)

Σημείωση: Οι αριθμοί A και N, αποτελούν προσεγγίσεις της πραγματικότητας
ΠΟΛΥ ΕΝΤΥΠΩΣΙΑΚΟ!!!


perpant
Δημοσιεύσεις: 451
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Η τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Σάβ Ιαν 07, 2012 8:20 am

Καλημέρα. Πριν δώσω την απάντηση, επαναφορά.


Παντούλας Περικλής
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Η τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Σάβ Ιαν 07, 2012 9:07 am

Οι δυνατοί τρόποι εισπνοής A μορίων (από τα N ) είναι \displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   N  \\  
   A  \\  
\end{array} } \right)} , οι τρόποι εισπνοής χωρίς μόριο του Αρχιμήδη είναι \displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {N - A}  \\  
   A  \\  
\end{array} } \right)} . Άρα η πιθανότητα εισπνοής τουλάχιστον ενός μορίου, από εκείνα του Αρχιμήδη είναι \displaystyle{p = 1 - \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {N - A}  \\  
   A  \\  
\end{array} } \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   N  \\  
   A  \\  
\end{array} } \right)}}} . Δηλαδή \displaystyle{p \approx 0} (εκτιμώ).


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2546
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Η τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Σάβ Ιαν 07, 2012 10:32 am

Σεραφείμ έγραψε:Οι δυνατοί τρόποι εισπνοής A μορίων (από τα N ) είναι \displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   N  \\  
   A  \\  
\end{array} } \right)} , οι τρόποι εισπνοής χωρίς μόριο του Αρχιμήδη είναι \displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {N - A}  \\  
   A  \\  
\end{array} } \right)} . Άρα η πιθανότητα εισπνοής τουλάχιστον ενός μορίου, από εκείνα του Αρχιμήδη είναι \displaystyle{p = 1 - \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {N - A}  \\  
   A  \\  
\end{array} } \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   N  \\  
   A  \\  
\end{array} } \right)}}} . Δηλαδή \displaystyle{p \approx 0} (εκτιμώ).

Απογοητευτικό !!! Ευτυχώς υπάρχουν τα έργα του και η αέναη συμβολή του στη δημιουργία που μάλλον είναι σημαντικότερα... :clap:


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
perpant
Δημοσιεύσεις: 451
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Η τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Σάβ Ιαν 07, 2012 11:41 am

polysot έγραψε:
Απογοητευτικό !!! Ευτυχώς υπάρχουν τα έργα του και η αέναη συμβολή του στη δημιουργία που μάλλον είναι σημαντικότερα... :clap:
Αποδεικνύεται ότι η πιθανότητα είναι σχεδόν 1!! Αν προλάβω θα γράψω την απόδειξη (είναι αρκετά μεγάλη) και την πηγή το βράδυ.


Παντούλας Περικλής
perpant
Δημοσιεύσεις: 451
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Η τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Κυρ Ιαν 08, 2012 1:42 am

perpant έγραψε: Να βρείτε την πιθανότητα να έχετε μόλις εισπνεύσει τουλάχιστον ένα μόριο αέρα από εκείνα που εξέπνευσε ο Αρχιμήδης το 212 π.Χ. κατά την τελευταία του εκπνοή. Δίνονται τα στοιχεία:
\displaystyle{ 
A = 2,2 \cdot 10^{22} } (πλήθος μορίων αέρα μιας εισπνοής ή εκπνοής) και
\displaystyle{ 
N = 10^{44} } (πλήθος μορίων αέρα στην ατμόσφαιρα της γης)

Σημείωση: Οι αριθμοί A και N, αποτελούν προσεγγίσεις της πραγματικότητας
Παραθέτω την απόδειξη αυτούσια όπως βρίσκεται στο βιβλίο "Γενικά Μαθηματικά Θέματα" (V2) εκδόσεις Μαντάς


Μια εισπνοή μπορεί να θεωρηθεί ως ένα τυχαίο πείραμα, κατά το οποίο λαμβάνουμε τυχαία \displaystyle{A} μόρια αέρα από τα \displaystyle{N} μόρια της ατμόσφαιρας.

Τότε για το πρώτο από τα \displaystyle{A} μόρια υπάρχουν \displaystyle{N} επιλογές, για το δεύτερο \displaystyle{N - 1 
} επιλογές κ.ο.κ., ενώ για το τελευταίο υπάρχουν \displaystyle{N - A} επιλογές. Άρα οι δυνατές επιλογές της

ομάδας των \displaystyle{A} μορίων από τα \displaystyle{N} είναι: \displaystyle{N\left( {N - 1} \right)\left( {N - 2} \right)...\left( {N - A + 1} \right)}

Θεωρούμε τώρα ότι οι μη ευνοϊκές επιλογές της ομάδας των \displaystyle{A} μορίων είναι εκείνες για τις οποίες κανένα μόριο δεν προέρχεται από την τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη. Συνολικά τα

μόρια της ατμόσφαιρας που δεν προέρχονται από την τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη είναι \displaystyle{N - A}.

Το πρώτο μόριο μιας μη ευνοϊκής ομάδας \displaystyle{A} μορίων έχει επομένως \displaystyle{N - A} επιλογές, το δεύτερο \displaystyle{N - A - 1}, το τρίτο \displaystyle{N - A - 2} κ.ο.κ., ενώ το τελευταίο έχει

\displaystyle{N - A - \left( {A - 1} \right) = N - 2A + 1} επιλογές. Άρα οι μη ευνοϊκές επιλογές της ομάδας των \displaystyle{A} μορίων είναι: \displaystyle{\left( {N - A} \right)\left( {N - A - 1} \right)\left( {N - A - 2} \right)...\left( {N - 2A + 1} \right)}

Επομένως, η πιθανότητα κανένα από τα μόρια μιας εισπνοής να μην προέρχεται από την τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη είναι:

\displaystyle{P' = \frac{{\left( {N - A} \right)\left( {N - A - 1} \right)\left( {N - A - 2} \right)...\left( {N - 2A + 1} \right)}}{{N\left( {N - 1} \right)\left( {N - 2} \right)...\left( {N - A + 1} \right)}}} (Σχέση 1)

Στο σημείο αυτό κάνουμε την παραδοχή: \displaystyle{N - A \simeq N} η οποία είναι λογική, αφού ο αριθμός \displaystyle{A} είναι περίπου \displaystyle{\frac{1}{2} \cdot 10^{22} } φορές μικρότερος του \displaystyle{N}. (Η φυσική ερμηνεία αυτής της κατά

προσέγγιση ισότητας, εκφράζει ότι το πλήθος των μορίων της ατμόσφαιρας ουσιαστικά δεν μεταβάλλεται αν από αυτό αφαιρεθεί το πλήθος των μορίων μιας εκπνοής)

Ο λόγος για τον οποίο έγινε αυτή η παραδοχή είναι ότι η ποσότητα στη σχέση 1 δεν υπολογίζεται, επειδή οι αριθμοί \displaystyle{N} και \displaystyle{A} είναι πολύ μεγάλοι. Τότε για κάθε φυσικό αριθμό \displaystyle{k} ισχύει:
\displaystyle{ - k\left( {N - A} \right) \simeq  - kN \Leftrightarrow N\left( {N - A} \right) - k\left( {N - A} \right) \simeq N\left( {N - A} \right) - kN 
}\displaystyle{\displaystyle{ \Leftrightarrow }}\displaystyle{\left( {N - A} \right)\left( {N - k} \right) \simeq N\left( {N - A - k} \right) \Leftrightarrow \frac{{N - A - k}}{{N - k}} \simeq \frac{{N - A}}{N} 
}

Τότε για \displaystyle{k = 1} έχουμε : \displaystyle{\frac{{N - A - 1}}{{N - 1}} \simeq \frac{{N - A}}{N}} για \displaystyle{k = 2} έχουμε \displaystyle{\frac{{N - A - 2}}{{N - 2}} \simeq \frac{{N - A}}{N}} και ούτω κάθε εξής, ενώ για \displaystyle{k = A - 1} έχουμε \displaystyle{\frac{{N - 2A + 1}}{{N - A + 1}} \simeq \frac{{N - A}}{N}}.

Άρα η σχέση 1 λαμβάνει τη μορφή : \displaystyle{P' \simeq \frac{{\left( {N - A} \right)^A }}{{N^A }} = \left( {1 - \frac{A}{N}} \right)^A }.

Η πιθανότητα τουλάχιστον ένα μόριο μιας εισπνοής να προέρχεται από την τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη είναι η πιθανότητα του συμπληρωματικού ενδεχομένου, δηλαδή:
\displaystyle{P = 1 - P' \simeq 1 - \left( {1 - \frac{A}{N}} \right)^A }.

Επομένως έχουμε \displaystyle{P \simeq 1 - \left( {1 - \frac{{2,2 \cdot 10^{22} }}{{10^{44} }}} \right)^{2,2 \cdot 10^{22} }  = 1 - \left( {1 - \frac{{2,2}}{{10^{22} }}} \right)^{2,2 \cdot 10^{22} }  = 1 - \left[ {\left( {1 - \frac{{2,2}}{{10^{22} }}} \right)^{10^{22} } } \right]^{2,2} }(Σχέση 2)

Όμως : \displaystyle{\left( {1 - \frac{{2,2}}{{10^{22} }}} \right)^{10^{22} }  \simeq \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {1 - \frac{{2,2}}{x}} \right)^x  = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } e^{x\ln \left( {1 - \frac{{2,2}}{x}} \right)}  = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } ^{x\ln \left( {1 - \frac{{2,2}}{x}} \right)} } }

και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {x\ln \left( {1 - \frac{{2,2}}{x}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\ln \left( {1 - \frac{{2,2}}{x}} \right)}}{{\frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{1}{{1 - \frac{{2,2}}{x}}} \cdot \frac{{2,2}}{x}}}{{ - \frac{1}{{x^2 }}}} =  - 2,2}

Άρα \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {1 - \frac{{2,2}}{x}} \right)^x  = e^{ - 2,2} } και συνεπώς : \displaystyle{\left( {1 - \frac{{2,2}}{{10^{22} }}} \right)^{10^{22} }  \simeq e^{ - 2,2} }.

Τότε από τη σχέση 2 έχουμε \displaystyle{P \simeq 1 - \left( {e^{ - 2,2} } \right)^{2,2}  = 1 - e^{ - 4,84}  \simeq 1 - 0,00791 = 0,99209}.

Δηλαδή κατά \displaystyle{99,209} τοις εκατό, σε κάθε εισπνοή λαμβάνουμε ένα τουλάχιστον μόριο που προέρχεται από την τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη!!!![/color]


Παντούλας Περικλής
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Η τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Ιαν 08, 2012 1:56 am

Υπάρχει ένα σημείο που δεν καταλαβαίνω. Είναι βάσιμο να υποτεθεί ότι κάποια μόρια που βρέθηκαν στο παρελθόν σε κάποιο γεωγραφικό σημείο έχουν ίσες πιθανότητες, έναντι άλλων, να βρεθούν μελλοντικά σε κάποιο άλλο γεωγραφικό σημείο;


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
perpant
Δημοσιεύσεις: 451
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Η τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Κυρ Ιαν 08, 2012 2:01 am

Έχετε δίκιο ότι αυτό δεν είναι αποσαφηνισμένο. Ένα πεζό παράδειγμα θα μπορούσε να είναι το εξής: Αν σε μια δεξαμενή γεμάτη νερό ρίξουμε μια κουταλιά αλάτι και αναδεύσουμε το μίγμα επαρκώς, τότε μόρια του αλατιού θα ανιχνεύονται σε οποιαδήποτε σταγόνα νερού.


Παντούλας Περικλής
Pla.pa.s
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 11:56 pm

Re: Η τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Pla.pa.s » Κυρ Ιαν 08, 2012 2:36 am

Χμμ, ίσως γίνομαι δικηγόρος του διαβόλου, όμως θα το αναφέρω για την ακρίβεια του πράγματος.
Η έννοια μόριο του αέρα είναι σχετική. Αν εννοήσουμε κάποιο από τα N_2 ή O_2, τα οποία είναι και τα πιο διαδεδομένα, τότε θα πρέπει να λάβουμε υπόψιν τις διάφορες αντιδράσεις στις οποίες συμμετέχουν και οι οποίες μετατρέπουν τα μόρια αυτά σε άλλα, π.χ. την αζωτοδέσμευση και ακόμη την αναπνοή. Τι θα πρέπει λοιπόν να εννοηθεί λέγοντας μόριο του αέρα;
Λόγω των παραπάνω αντιδράσεων τα διατομικά αυτά μόρια του αέρα παύουν να αποτελούν μόρια αυτής της μορφής ή γενικότερα διατομικά μόρια του αέρα. Αν πάλι θεωρήσουμε τα επιμέρους άτομα των μορίων και πάλι η έννοια άτομο είναι σχετική, καθώς ένα άτομο αποτελείται από τον πυρήνα και τα ηλεκτρόνια, τα οποία σίγουρα δεν μπορούμε λόγω της κινητικότητας τους να πούμε ότι ανήκουν σε ένα άτομο σταθερά.
Εξάλλου σχεδόν σε κάθε αντίδραση και σχηματισμό νέων μορίων, η δουλειά γίνεται μεταξύ των ηλεκτρονίων, τα οποία σχηματίζουν κοινές στοιβάδες ή ανταλλάσσονται μεταξύ τους.
Σε κάθε περίπτωση λοιπόν νομίζω ότι αν θέλουμε να σεβαστούμε και τη φυσική πλευρά του πράγματος, θα πρέπει να εξετάσουμε κατά πόσον οι παραπάνω αντιδράσεις επηρεάζουν το σύνολο των μορίων του αέρα και ανάλογα με την απάντηση να ληφθούν και αυτά υπόψιν στους παραπάνω υπολογισμούς.
Πάντως από καθαρά μαθηματικης πλευράς είναι σίγουρα ένα όμορφο και εντυπωσιακό ερώτημα.


1+1+...+1=2
Dots are mysterious!
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Η τελευταία εκπνοή του Αρχιμήδη

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Κυρ Ιαν 08, 2012 11:21 am

Σεραφείμ έγραψε:Οι δυνατοί τρόποι εισπνοής A μορίων (από τα N ) είναι \displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   N  \\  
   A  \\  
\end{array} } \right)} , οι τρόποι εισπνοής χωρίς μόριο του Αρχιμήδη είναι \displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {N - A}  \\  
   A  \\  
\end{array} } \right)} . Άρα η πιθανότητα εισπνοής τουλάχιστον ενός μορίου, από εκείνα του Αρχιμήδη είναι \displaystyle{p = 1 - \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {N - A}  \\  
   A  \\  
\end{array} } \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   N  \\  
   A  \\  
\end{array} } \right)}}} . Δηλαδή \displaystyle{p \approx 0} (εκτιμώ).
Χμ .. ο τύπος είναι σωστός (συνδιασμοί αντί της πολλαπλασιαστικής αρχής) .. η εκτίμηση όντως είναι τελείως λάθος .. :mrgreen:


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Στατιστική-Πιθανότητες”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης