Ρίξε μια ζαριά καλή !
Ρίξε μια ζαριά καλή !
Στο τεύχος 2 του Ιανουαρίου 1975 του περιοδικού της Ε.Μ.Ε. "Μαθηματική Επιθεώρηση" , δημοσιεύεται διάλεξη του
Ανδρέα Φιλίππου ,που δόδηκε τις 13-11-1974 , με τίτλο : "Παιγνίδια τύχης , η αρχή και η εξέλιξη της Πιθανοθεωρίας "
Εκεί , λοιπόν , αναφέρονται ( μεταξύ πολλών άλλων ) και τα εξής 2 ενδιαφέροντα ερωτήματα :
1) Ποιός είναι ο μικρότερος αριθμός ρίψεων 2 ζαριών , για τον οποίο συμφέρει να στοιχηματίσουμε , ότι θα φέρουμε "εξάρες" ;
2) Ρίχνουμε 3 ζάρια και θεωρούμε ένδειξη το άθροισμα των ενδείξεων των πάνω εδρών . Συνεχίζουμε τις ρίψεις μέχρις ότου ,
η ένδειξη 11 , εμφανισθεί 11 φορές .
Για να συμβεί αυτό συμφέρει να στοιχηματίσουμε , ότι θα απαιτηθεί άρτιος , ή περιττός αριθμός ρίψεων ;
*Το πρώτο ερώτημα είναι διάσημο , λύθηκε από τον Pascal (η απάντηση είναι 25 ), αλλά δεν δημοσιεύεται λύση .
Το δεύτερο είναι αναπάντητο στη συγκεκριμένη διάλεξη . Ίσως απαντηθεί εδώ ...
Ανδρέα Φιλίππου ,που δόδηκε τις 13-11-1974 , με τίτλο : "Παιγνίδια τύχης , η αρχή και η εξέλιξη της Πιθανοθεωρίας "
Εκεί , λοιπόν , αναφέρονται ( μεταξύ πολλών άλλων ) και τα εξής 2 ενδιαφέροντα ερωτήματα :
1) Ποιός είναι ο μικρότερος αριθμός ρίψεων 2 ζαριών , για τον οποίο συμφέρει να στοιχηματίσουμε , ότι θα φέρουμε "εξάρες" ;
2) Ρίχνουμε 3 ζάρια και θεωρούμε ένδειξη το άθροισμα των ενδείξεων των πάνω εδρών . Συνεχίζουμε τις ρίψεις μέχρις ότου ,
η ένδειξη 11 , εμφανισθεί 11 φορές .
Για να συμβεί αυτό συμφέρει να στοιχηματίσουμε , ότι θα απαιτηθεί άρτιος , ή περιττός αριθμός ρίψεων ;
*Το πρώτο ερώτημα είναι διάσημο , λύθηκε από τον Pascal (η απάντηση είναι 25 ), αλλά δεν δημοσιεύεται λύση .
Το δεύτερο είναι αναπάντητο στη συγκεκριμένη διάλεξη . Ίσως απαντηθεί εδώ ...
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ρίξε μια ζαριά καλή !
Ας κοιτάξουμε το δεύτερο.
Έστω η πιθανότητα σε μια συγκεκριμένη ρίψη των τριών ζαριών να έχουμε άθροισμα 11 και έστω . Προφανώς . Όπως θα δούμε πιο κάτω δεν χρειάζεται να το υπολογίσουμε.
Πρώτος τρόπος: Η πιθανότητα το πρώτο 11 να έρθει μετά από περιττό αριθμό ρίψεων ισούται με Άρα συμφέρει να στοιχηματίσουμε στις περιττές ρίψεις.
Δεύτερος τρόπος: Αν η πιθανότητα να κερδίσουμε αν στοιχηματίσουμε στις περιττές ρίψεις τότε αφού υπάρχει πιθανότητα να κερδίσουμε στην πρώτη ρίψη ενώ αν χάσουμε στην πρώτη ρίψη (με πιθανότητα ) είναι σαν να παίζουμε το ίδιο παιχνίδι από την αρχή αλλά ποντάροντας στις άρτιες ρίψεις. Τότε όμως μετά από πράξεις καταλήγουμε ότι . [Διαφορετικά από το παίρνουμε οπότε .]
Έστω η πιθανότητα σε μια συγκεκριμένη ρίψη των τριών ζαριών να έχουμε άθροισμα 11 και έστω . Προφανώς . Όπως θα δούμε πιο κάτω δεν χρειάζεται να το υπολογίσουμε.
Πρώτος τρόπος: Η πιθανότητα το πρώτο 11 να έρθει μετά από περιττό αριθμό ρίψεων ισούται με Άρα συμφέρει να στοιχηματίσουμε στις περιττές ρίψεις.
Δεύτερος τρόπος: Αν η πιθανότητα να κερδίσουμε αν στοιχηματίσουμε στις περιττές ρίψεις τότε αφού υπάρχει πιθανότητα να κερδίσουμε στην πρώτη ρίψη ενώ αν χάσουμε στην πρώτη ρίψη (με πιθανότητα ) είναι σαν να παίζουμε το ίδιο παιχνίδι από την αρχή αλλά ποντάροντας στις άρτιες ρίψεις. Τότε όμως μετά από πράξεις καταλήγουμε ότι . [Διαφορετικά από το παίρνουμε οπότε .]
Re: Ρίξε μια ζαριά καλή !
Έχουμε ένα τυχαίο πείραμα με δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία-αποτυχία) με πιθανότητα επιτυχίας, να φέρουμε “εξάρες”, και αποτυχίας που θα επαναληφθεί φορές.
Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό των επιτυχιών. Η πιθανότητα να έχουμε επιτυχίες σε ανεξάρτητα πειράματα με πιθανότητα επιτυχίας δίνεται από τον τύπο της διωνυμικής κατανομής :
Για να συμφέρει το στοίχημα πρέπει η συνολική πιθανότητα, αθροιστικά, για να είναι ή ισοδύναμα η πιθανότητα να μην φέρουμε καμία “εξάρες” να είναι .
Συνεπώς =>
.
Άρα πράγματι το μικρότερο
Υ.Γ Πως να μεγαλώνω τις παρενθέσεις και αγκύλες ? π.χ
Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό των επιτυχιών. Η πιθανότητα να έχουμε επιτυχίες σε ανεξάρτητα πειράματα με πιθανότητα επιτυχίας δίνεται από τον τύπο της διωνυμικής κατανομής :
Για να συμφέρει το στοίχημα πρέπει η συνολική πιθανότητα, αθροιστικά, για να είναι ή ισοδύναμα η πιθανότητα να μην φέρουμε καμία “εξάρες” να είναι .
Συνεπώς =>
.
Άρα πράγματι το μικρότερο
Υ.Γ Πως να μεγαλώνω τις παρενθέσεις και αγκύλες ? π.χ
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Κυρ Μάιος 18, 2014 10:51 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ρίξε μια ζαριά καλή !
καλημέρα, απλά μπροστά από τις παρενθέσεις βάζεις \left( \dfrac{5}{3} \right ) που δίδει . Όμοια και για τις αγκύλες \left [ \dfrac{5}{3} \right ] που δίδει .ealexiou έγραψε:
Υ.Γ Πως να μεγαλώνω τις παρενθέσεις και αγκύλες ? π.χ
Ελπίζω να βοήθησα.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες