Απορια στην εννοια της πιθανοτητας

Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Απορια στην εννοια της πιθανοτητας

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Παρ Ιαν 20, 2012 11:53 pm

Τελικά ο συλλογισμός του κυρίου Ρίζου είναι σωστός;;;


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8261
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Απορια στην εννοια της πιθανοτητας

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Ιαν 22, 2012 12:25 am

Όχι δεν είναι σωστός. Αν ο μύλος δεν ξαναγυρίζει τότε αν η σφαίρα είναι στην πρώτη θαλάμη θα πεθάνει ο πρώτος παίκτης, αν είναι στην δεύτερη θα πεθάνει ο δεύτερος κ.τ.λ. Αυτά τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα και άρα κάθε παίκτης έχει πιθανότητα ακριβώς 1/6 να πεθάνει.

Η πιθανότητα που υπολογίζει ο Γιώργος είναι η πιθανότητα να πεθάνει ο δεύτερος παίκτης γνωρίζοντας ότι ο πρώτος επέζησε. Με την ίδια λογική όπως πιο πάνω αυτή η πιθανότητα είναι 1/5. Ο τύπος που χρησιμοποιεί ο Γιώργος είναι σωστός. Το P(B \cap A') όμως που είναι η πιθανότητα να πεθάνει ο δεύτερος και να επιζήσει ο πρώτος, δηλαδή η σφαίρα να μην βρίσκεται στην πρώτη θαλάμη και επιπλέον να βρίσκεται στην δεύτερη, ισούται με 1/6 και όχι με 1/5. Χρησιμοποιώντας το σωστό 1/6 ο τύπος θα δώσει \displaystyle{\frac{1/6}{5/6} = \frac{1}{5}} που είναι και το σωστό.

Στην περίπτωση που ο μύλος ξαναγυρίζει ο πρώτος πεθαίνει είτε στην πρώτη σφαίρα με πιθανότητα 1/6 είτε όλοι γλυτώνουν την πρώτη τους σφαίρα και πεθαίνει στην δεύτερη και αυτό συμβαίνει με πιθανότητα (5/6)^6(1/6), είτε γλυτώνουν όλοι τις πρώτες δυο σφαίρες και ο πρώτος παίκτης πεθαίνει στην τρίτη. Αυτό συμβαίνει με πιθανότητα (5/6)^{12}(1/6) κ.τ.λ. Συνολικά η πιθανότητα να πεθάνει ο πρώτος παίκτης ισούται με \displaystyle{ \frac{1}{6}\left(1 + \left(\frac{5}{6}\right)^6 + \left(\frac{5}{6}\right)^{12} + \cdots \right) = \frac{1}{6}\frac{1}{1 - \left(\frac{5}{6}\right)^6} = \frac{7776}{31031}}. Ομοίως δουλεύουμε και για τους άλλους παίκτες.

[Ένας πιο σύντομος τρόπος είναι να γράψουμε p για την πιθανότητα να πεθάνει ο πρώτος παίκτης. Ποια είναι τώρα η πιθανότητα να πεθάνει ο δεύτερος παίκτης; Πρέπει πρώτα να επιζήσει ο πρώτος παίκτης στην πρώτη προσπάθεια. Αυτό γίνεται με πιθανότητα 5/6. Εφόσον όμως συμβεί αυτό είναι σαν να ξεκινάμε καινούργιο παιγνίδι με τον δεύτερο παίκτη να γίνεται πρώτος. Επομένως η πιθανότητα να πεθάνει αυτός είναι 5p/6. Ομοίως για τον τρίτο είναι (5/6)^2p κ.τ.λ. Τέλος επειδή σίγουρα κάποιος θα πεθάνει (αυτό θέλει απόδειξη!) έχουμε p(1 + 5/6 + \cdots + (5/6)^5) = 1 οπότε υπολογίζουμε το p.]


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Απορια στην εννοια της πιθανοτητας

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Κυρ Ιαν 22, 2012 12:31 am

Δημήτρη
μέχρι να το υπολογίσουμε ο τελευταίος παίκτης θα έχει πεθάνει από ...ανία

Χρήστος


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Απορια στην εννοια της πιθανοτητας

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Κυρ Ιαν 22, 2012 12:34 am

Κύριε Δημήτρη σας ευχαριστώ για την απάντηση.

Κύριε Χρήστο αυτό θα πω και εγώ στους μαθητές αν με ρωτήσουν :lol: :lol: :lol:


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “Στατιστική-Πιθανότητες”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης