Μελέτη Συνάρτησης.

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Μελέτη Συνάρτησης.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Σάβ Οκτ 16, 2010 1:06 pm

Να μελετηθεί η συνάρτηση \displaystyle{\bf f(x)=\arcsin\left(\frac{2x+3}{5}\right)+2\arctan\left(\sqrt{\frac{1-x}{4+x}}\right)} ως προς το πεδίο ορισμού και την μονοτονία στους πραγματικούς αριθμούς.Είναι σταθερή;


What's wrong with a Greek in Hamburg?

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Μελέτη Συνάρτησης.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Οκτ 20, 2010 12:25 am

Για το πεδίο ορισμού πρέπει \displaystyle{ - 1 \leqslant \frac{{2 \cdot x + 3}}{5} \leqslant 1}, \displaystyle{\frac{{1 - x}}{{4 + x}} \geqslant 0} και \displaystyle{x \ne  - 4} που οδηγεί στο διάστημα \displaystyle{x \in \left( { - 4,1} \right]}.

Τότε \displaystyle{2 \cdot arctan\left( {\sqrt {\frac{{1 - x}}{{4 + x}}} } \right) = y \Rightarrow \sqrt {\frac{{1 - x}}{{4 + x}}}  = \tan \left( {\frac{y}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{1 - x}}{{4 + x}} = {\tan ^2}\left( {\frac{y}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{1 - x}}{5} = {\sin ^2}\left( {\frac{y}{2}} \right) \Rightarrow }

\displaystyle{ \Rightarrow \frac{{2 \cdot x + 3}}{5} = 1 - 2 \cdot {\sin ^2}\left( {\frac{y}{2}} \right) = \cos \left( y \right) \Rightarrow y = \arccos \left( {\frac{{2 \cdot x + 3}}{5}} \right)}

δηλαδή \displaystyle{2 \cdot arctan\left( {\sqrt {\frac{{1 - x}}{{4 + x}}} } \right) = \arccos \left( {\frac{{2 \cdot x + 3}}{5}} \right) = \frac{\pi }{2} - \arcsin \left( {\frac{{2 \cdot x + 3}}{5}} \right)}

Τελικά \displaystyle{f\left( x \right) = \arcsin \left( {\frac{{2 \cdot x + 3}}{5}} \right) + 2 \cdot arctan\left( {\sqrt {\frac{{1 - x}}{{4 + x}}} } \right) = \frac{\pi }{2}} (σταθερή).


Σεραφείμ Τσιπέλης
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Μελέτη Συνάρτησης.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τετ Οκτ 20, 2010 2:56 pm

Σεραφείμ μπράβο, το έλυσες χωρίς να εμπλακείς με παραγώγους.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης