Άπειρες ρίζες

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Άπειρες ρίζες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Οκτ 16, 2010 1:01 am

Δίνεται η διαφορική εξίσωση y''+a(x)y'+b(x)y=0,
όπου a(x),b(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα I=[0,+\infty).

Να αποδείξετε ότι, αν μία μη μηδενική λύση, \phi(x), x \in I, της διαφορικής εξίσωσης έχει άπειρες ρίζες στο I,
τότε και κάθε άλλη λύση αυτής θα έχει επίσης άπειρες ρίζες στο διάστημα I=[0,+\infty).


Δεν έχω λύση.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Άπειρες ρίζες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Σάβ Οκτ 16, 2010 3:47 pm

Έστω \displaystyle{{y_1}\left( x \right),{y_2}\left( x \right)}, δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της εξίσωσης \displaystyle{y''\left( x \right) + a\left( x \right) \cdot y'\left( x \right) + b\left( x \right) \cdot y\left( x \right) = 0} και \displaystyle{a,b:} δύο διαδοχικές ρίζες της \displaystyle{{y_1}\left( x \right)}, η οποία
παρεμπιπτόντως έχει άπειρες ρίζες.

Οι συναρτήσεις \displaystyle{{y_1}\left( x \right),{y_2}\left( x \right)}, είναι γραμμικά ανεξάρτητες, επομένως για την ορίζουσα του Wronski των \displaystyle{{y_1}\left( x \right),{y_2}\left( x \right)} θα ισχύει \displaystyle{W\left( x \right) = W\left( {{y_1}\left( x \right),{y_2}\left( x \right)} \right) \ne 0 \Rightarrow {y'_1}\left( x \right) \cdot {y_2}\left( x \right) - {y'_2}\left( x \right) \cdot {y_1}\left( x \right) \ne 0}, για κάθε \displaystyle{x \in \left[ {a,b} \right]}.

Έστω ότι \displaystyle{{y_2}\left( x \right) \ne 0}, για κάθε \displaystyle{x \in \left[ {a,b} \right]}. Τότε η συνάρτηση \displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{{y_1}\left( x \right)}}{{{y_2}\left( x \right)}}} είναι καλά ορισμένη και συνεχής στο \displaystyle{\left[ {a,b} \right]} και ισχύει \displaystyle{f\left( a \right) = f\left( b \right) = 0}. Σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle : υπάρχει \displaystyle{\xi  \in \left( {a,b} \right):f'\left( \xi  \right) = 0}, δηλαδή \displaystyle{W\left( \xi  \right) = 0}, που είναι άτοπο λόγω γραμμικής ανεξαρτησίας των \displaystyle{{y_1}\left( x \right),{y_2}\left( x \right)}.

Επομένως στο διάστημα \displaystyle{\left[ {a,b} \right]}, η συνάρτηση \displaystyle{{y_2}\left( x \right)} έχει μία τουλάχιστον ρίζα και λόγω του άπειρου πλήθους των ριζών της \displaystyle{{y_1}\left( x \right)}, θα έχει άπειρο πλήθος ριζών και η \displaystyle{{y_2}\left( x \right)} .

Αν \displaystyle{{y_1}\left( x \right),{y_2}\left( x \right)} : γραμμικά εξαρτημένες τότε και η \displaystyle{{y_2}\left( x \right)} θα έχει άπειρες ρίζες (φανερά).

Νομίζω πως, αν μια οποιαδήποτε διαφορική εξίσωση (με συνεχείς συντελεστές), έχει λύση με άπειρες ρίζες, τότε κάθε άλλη γραμμικά ανεξάρτητη λύση της διαφορικής εξίσωσης, θα έχει άπειρες ρίζες επίσης.


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες