Συνεχείς συναρτήσεις

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συνεχείς συναρτήσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Αύγ 30, 2010 9:03 pm

Αν οι συναρτήσεις f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} έχουν την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής (Ιδιότητα Darboux) και g(f(x))=x+1, \forall x\in \mathbb{R}, να αποδειχθεί ότι είναι συνεχείς.


Σπύρος Καπελλίδης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4311
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συνεχείς συναρτήσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τρί Αύγ 31, 2010 2:21 am

Με h(x)=x+1 έχουμε g\circ f=h
Εύκολα δείχνουμε ότι η f είναι 1-1.
Αλλά αφού έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής θα είναι και γνησίως μονότονη. Αυτό διότι αν συνέβαινε με x_{1}<x_{2}<x_{3} να είναι λ.χ. f\left( x_{1}\right) <f\left( x_{2}\right) και f\left( x_{3}\right) <f\left( x_{2}\right) τότε η f θα έπαιρνε μία τιμή δύο φορές. Ας υποθέσουμε χωρίς να βλάπτεται η γενικότητα ότι είναι γνησίως αύξουσα. Η μονοτονία μαζί με την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής εξασφαλίζει και την συνέχεια: Πράγματι θεωρούμε x_{0} και το f\left( x_{0}\right). 'Εστω \varepsilon >0. Θεωρούμε x_{1}<x_{0}<x_{2}. Τα στοιχεία του \left[ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right] είναι τιμές της f. Θεωρούμε
y_{1}\in \left( f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{0}\right) \right) \cap \left( f\left( x_{0}\right) -\varepsilon ,f\left( x_{0}\right) \right) ,~\ \ \ \ \ y_{2}\in \left( f\left( x_{0}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right) \cap \left( f\left( x_{0}\right) ,f\left( x_{0}\right) +\varepsilon \right)
Θα είναι y_{1}=f\left( t_{1}\right) ,y_{2}=f\left( t_{2}\right) με x_{1}<t_{1}<x_{0}<t_{2}<x_{2}
και f\left( \left( t_{1},t_{2}\right) \right) \subseteq \left( f\left( x_{0}\right) -\varepsilon ,f\left( x_{0}\right) +\varepsilon \right)
πράγμα που εξασφαλίζει την συνέχεια της f.
Αλλά τότε αφού η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε διάστημα το αυτό θα ισχύει και με την f^{-1}.
Είναι g=h\circ f^{-1} και επομένως συνάγουμε ότι η g είναι συνεχής στο A=D_{f^{-1}}=f\left( \mathbb{R}\right)
Σπύρο έχω την εντύπωση ότι αυτό είναι το περισσότερο που μπορούμε να συμπεράνουμε για την g. Δεν μπορώ να δω πως θα "εξαναγκαστεί" η g να είναι συνεχής αν το σύνολο τιμών της f δεν είναι το \mathbb{R}.
'Ενα πιθανό αντιπαράδειγμα (*) που μου έρχεται στο μυαλό είναι το ζεύγος

\displaystyle{f\left( x\right) =\frac{x}{1+\left\vert x\right\vert }}

\displaystyle{g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {\frac{1}{{x + 1}}} & , & {x <  - 1}  \\ 
   0 & , & {x =  - 1}  \\ 
   {\frac{{x + 1 - \left| x \right|}}{{1 - \left| x \right|}}} & , & { - 1 < x < 1}  \\ 
   0 & , & {x = 1}  \\ 
   {\frac{1}{{x - 1}}} & , & {x > 1}  \\ 
\end{array}} \right.}
Βρίσκω ότι ισχύει η g\circ f=h και ακόμη ότι η g αν και ασυνεχής έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής. Το λέω όμως με κάποιες επιφυλάξεις μήπως και μου έχει ξεφύγει κάποια περίπτωση ώρα που είναι.
Μαυρογιάννης
(*) Το παράδειγμα είναι άστοχο. Βλ. την αμέσως επόμενη απάντηση του Σπύρου Καπελλίδη


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συνεχείς συναρτήσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Αύγ 31, 2010 9:25 am

Νίκο καλημέρα. Εύχομαι υγεία και δύναμη για τη νέα χρονιά.
Το αντιπαράδειγμα σου, νομίζω δεν δουλεύει, γιατί η g δεν έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής.
Το αιτιολογώ:
Αν μια συνάρτηση, η οποία ορίζεται σε ένα διάστημα, σε κάποιο σημείο του διαστήματος έχει ένα τουλάχιστον πλευρικό όριο άπειρο, τότε δεν έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής.
Έστω g:I \to \mathbb{R}, x_0 \in I και \displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{+}} f(x)=+\infty. Παίρνω M>f(x_0), άρα υπάρχει \delta>0 ώστε f(x)>M, \forall x\in (x_0,x_0+\delta). Αν M>k>f(x_0) και x_1 \in (x_0,x_0+\delta), τότε δεν υπάρχει x\in (x_0,x_1) ώστε f(x)=k.
Νομίζω πως αυτό είναι και το κρίσιμο σημείο που λύνει το πρόβλημα. Το αφήνω όμως ακόμη. Μας μένει δηλαδή να αποδείξουμε τη συνέχεια της g.
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4311
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συνεχείς συναρτήσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τρί Αύγ 31, 2010 9:48 am

Σπύρο καλή χρονιά και από μένα. Φυσικά και έχεις δίκιο. Το παράδειγμα είναι εντελώς ακατάλληλο. Επομένως απομένει η απόδειξη της συνέχειας της g.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4311
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συνεχείς συναρτήσεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τρί Αύγ 31, 2010 8:00 pm

Νομίζω ότι η βοηθητική πρόταση που παρέθεσε ο Σπύρος είναι και υπόδειξη και με την βοήθεια της μπορούμε να ολοκληρώσουμε την απόδειξη.
Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο ανοικτό διάστημα \mathbb{R}. Επομένως το σύνολο τιμών της A=f(\mathbb{R}) είναι ανοικτό διάστημα (φραγμένο ή όχι).
Παρατηρούμε ότι για κάθε y \in \mathbb{R} υπάρχει το x=f(y-1) ώστε f(x)=y. Επομένως ο περιορισμός της g στο A είναι μία συνάρτηση "επί" του \mathbb{R}. Λόγω της
g\left( x\right) =\left( h\circ f^{-1}\right) \left( x\right)
η g είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο A.
Θα δείξουμε ότι A=\mathbb{R}. Ας πούμε πως αυτό δεν συμβαίνει. Τότε κάποιο από τα άκρα του A είναι πραγματικός αριθμός. Ας πούμε ότι είναι A=\left( \sigma ,b\right) με το \sigma να είναι πραγματικός ή το -\infty και το b πραγματικός. Τότε θα είναι \lim\limits_{x\rightarrow b^{-}}g\left( x\right) =\allowbreak +\infty πράγμα αδύνατον για τους λόγους που εξέθεσε ο Σπύρος. 'Oμοια αποδεικνύεται ότι το κάτω άκρο του Α είναι -\infty οπότε A=\mathbb{R} με άλλα λόγια η g είναι συνεχής.
Σπύρο ευχαριστούμε για την άσκηση και συγνώμη για την ταλαιπωρία.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συνεχείς συναρτήσεις

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Αύγ 31, 2010 8:15 pm

Νίκο, εγώ ευχαριστώ για την ενασχόληση και τη λύση και θα ήθελα και δημόσια να εκφράσω τη χαρά μου, που έστω και εξ' αποστάσεως συνεργάζομαι μαζί σου, γιατί η συνεργασία αυτή είναι πράγματι απολαυστική. Δεν ξεχωρίζουν μόνον οι γνώσεις σου αλλά κυρίως το υψηλό επιστημονικό σου ήθος.
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης