Όριο σύνθεσης: είναι αναγκαία!

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Απάντηση
Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 251
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Όριο σύνθεσης: είναι αναγκαία!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος »

Δίνεται συνάρτηση g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} που ικανοποιεί τις ιδιότητες:

\bullet \lim\limits_{x\to x_o}g(x)=u_o\in\mathbb{R}

\bullet Για κάθε f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} και για κάθε \ell ισχύει η συνεπαγωγή

\lim\limits_{u\to u_o} f(u)=\ell \Rightarrow \lim\limits_{x\to x_o}f(g(x))=\ell

Να αποδειχθεί ότι g(x)\ne u_o κοντά στο x=x_o ΧΩΡΙΣ να χρησιμοποιηθεί καμία μορφή του αξιώματος επιλογής,
είτε άμεσα, είτε έμμεσα μέσω θεωρημάτων των οποίων η απόδειξη βασίζεται σε αυτά.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Τα παραπάνω όρια ορίζονται με το συνηθισμένο \varepsilon,\delta ορισμό, ενώ το \mathbb{R} είναι εφοδιασμένο με τη συνήθη ευκλείδεια τοπολογία.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Ας θυμηθούμε το ακόλουθο θεώρημα για το όριο της σύνθεσης συναρτήσεων.

Αν f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} και ισχύουν οι εξής τρεις συνθήκες:

#1. \lim\limits_{x\to x_o}g(x)=u_o\in\mathbb{R}
#2. \lim\limits_{u\to u_o} f(u)=\ell
#3. g(x)\ne u_o κοντά στο x=x_o

τότε \lim\limits_{x\to x_o}f(g(x))=\ell

Το ζητούμενο της παρούσας ανάρτησης αφορά το γεγονός ότι
η ικανή πλην "ενοχλητική" συνθήκη #3. είναι απαραίτητο
να προστεθεί στις συνθήκες #1.,#2. εάν θέλουμε
το συμπέρασμα του θεωρήματος της σύνθεσης να αληθεύει χωρίς επιπλέον υποθέσεις για τη συνάρτηση f

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Σχετικό και πιο ενδιαφέρον είναι το ακόλουθο:
viewtopic.php?f=67&t=77532
Φιλόλογος τυπικών γλωσσών
Ετικέτες:
αξίωμα-επιλογής
όριο-σύνθεσης
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες