Σύγκλιση σειράς (θεωρητική)

#1

Να εξετασθεί αν ισχύει η παρακάτω πρόταση. Αν ισχύει, να αποδειχθεί, ενώ αν δεν ισχύει, να δοθεί αντιπαράδειγμα.

Έστω $({\alpha_{n}})_{n\in\mathbb{N}}$ ακολουθία θετικών πραγματικών.
Αν για τυχόν πάγιο $\mu\in\mathbb{N}$ ισχύει $\lim_{{n}\to+\infty}\frac{\alpha_{n+\mu}}{\alpha_{n}}<1$ , τότε η σειρά $\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha_{n}$ συγκλίνει.

#2

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2024 9:31 am
Να εξετασθεί αν ισχύει η παρακάτω πρόταση. Αν ισχύει, να αποδειχθεί, ενώ αν δεν ισχύει, να δοθεί αντιπαράδειγμα.

Έστω $({\alpha_{n}})_{n\in\mathbb{N}}$ ακολουθία θετικών πραγματικών.
Αν για τυχόν πάγιο $\mu\in\mathbb{N}$ ισχύει $\lim_{{n}\to+\infty}\frac{\alpha_{n+\mu}}{\alpha_{n}}<1$ , τότε η σειρά $\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha_{n}$ συγκλίνει.

Ισχύει.

Για $\mu =1$ είναι το κριτήριο λόγου, οπότε ας δούμε τι ισχύει για τα υπόλοιπα $\mu$ .

Για τυπογραφική ευκολία θα το κάνω για $\mu =3$ , αλλά τα υπόλοιπα γίνονται με ακριβώς τον ίδιο τρόπο.

Κοιτάμε τις σειρές $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha_{3n}}$ , $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha_{3n+1}}$ και $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha_{3n+2}}$ .

Η πρώτη συγκλίνει γιατί οι διαδοχικοί της όροι $a_{3n}, a_{3n+3}$ ικανοποιούν, εξ υποθέσεως με $\mu =3$ , το κριτήριο λόγου. Όμοια οι άλλες δύο.

Τώρα προσθέτουμε κατά μέλη τις τρεις σειρές, οπότε παίρνουμε την αρχική σειρά, και άρα αυτή συγκλίνει.

#3

Δεν υπάρχει ουσιαστική διαφορά με την λύση του κ. Λάμπρου, αλλά δίνουμε την λύση της γενικής περίπτωσης:

Οι υπακολουθίες $({\alpha_{\mu n+k}})_{n\in\mathbb{N}}$ , $k=0,1,\ldots,\mu-1$ , διαμερίζουν, δηλαδή $\bigcup_{k=0}^{\mu-1}\{{\mu n+k\;|\; n\in\mathbb{N}}\}=\mathbb{N}$ , $\bigcap_{k=0}^{\mu-1}\{{\mu n+k\;|\; n\in\mathbb{N}}\}=\varnothing$ , την ακολουθία $({\alpha_{n}})_{n\in\mathbb{N}}$ , ενώ, για κάθε $k=0,1,\ldots,\mu-1$ , ισχύει

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\alpha_{\mu n+k+\mu}}{\alpha_{\mu n+k}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\alpha_{\mu(n+1) +k}}{\alpha_{\mu n+k}}<1$ .

Από το κριτήριο D'Alembert προκύπτει ότι, για κάθε $k=0,1,\ldots,\mu-1$ , οι σειρές $\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha_{\mu n+k}$ συγκλίνουν. Άρα και η σειρά $\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha_{n}$ , ως πεπερασμένο άθροισμα αυτών των σειρών, συγκλίνει.

Σύγκλιση σειράς (θεωρητική)

Σύγκλιση σειράς (θεωρητική)

Re: Σύγκλιση σειράς (θεωρητική)

Re: Σύγκλιση σειράς (θεωρητική)

Μέλη σε σύνδεση