Όγκος στερεού

ttheodoros · #1

Ο κύβος με κορυφές (0,0,0)

,

περιστρέφεται γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία (0,0,0)

και

. Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται.

#2

ttheodoros έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 23, 2024 11:05 am
Ο κύβος με κορυφές , , , , , , , περιστρέφεται γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και . Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται.

Καλημέρα από Γρεβενά...

Πράγματι το θέμα αυτό έχει την ομορφιά του! Η περιστροφή του κύβου!

Μια περιστροφή γύρω από ένα σταθερό άξονα, τη διαγώνιο του. Και φανταστείτε

να ζητούσαμε ο άξονας αυτός να εκτελεί και μια δική του κίνηση...(Αστρονομία)

Το αποτέλεσμα φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

: Περιστροφή κύβου 1.png (75.41 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές

Αν προσέξουμε το σχήμα αυτό το οποίο αναρτώ και στη δυναμική του μορφή τότε θα διακρίνουμε

ότι το σχήμα αυτό αποτελείται από:

1ο) Δυο κωνικές επιφάνειες (δυο κώνοι) που διαγράφουν αντίστοιχα κάθε φορά

οι τρεις ακμές του κύβου που οι οποίες συντρέχουν στις κορυφές $\displaystyle{A=(0,0,0)}$ και $\displaystyle{G=(1,1,1)}$

και

2) Από μια υπερβολοειδή επιφάνεια που διαγράφεται από τις υπόλοιπες έξι ακμές του κύβου αυτού.

Το δυναμικό σχήμα μπορείτε να το δείτε στο σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/ueujnyxw

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#3

ttheodoros έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 23, 2024 11:05 am
Ο κύβος με κορυφές , , , , , , , περιστρέφεται γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και . Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται.

(Συνέχεια από το προηγούμενο...)

Καλησπέρα από Γρεβενά...

Συνεχίζοντας τη μελέτη του όμορφου σχήματος το οποίο προέκυψε από την περιστροφή
ενός μοναδιαίου κύβου, γύρω από μια διαγώνιο του κατά μια πλήρη γωνία, παρατηρούμε
ακόμα μερικά άλλα στοιχεία του προβλήματος αυτού.

Εργαζόμαστε στο πρώτο σχήμα που ακολουθεί:

: Κύβος 1.png (25.58 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές

Προβάλλοντας την ακμή $\displaystyle{AE}$ επί της διαγωνίου $\displaystyle{AG}$ και σκεπτόμενοι το ορθογώνιο τρίγωνο

$\displaystyle{(AEG)}$ έχουμε:

$\displaystyle{(AE)^2=(AS)(AG) \Rightarrow (AS)=\frac{\sqrt{3}}{3} \ \ \ (1) }$

κι αυτό διότι:

$\displaystyle{(AE)=1}$ και $\displaystyle{(AG)=\sqrt{3} }$

Από το ίδιο ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι:

$\displaystyle{ (ES)^2=(AS)(SG) \Rightarrow (ES)=\frac{\sqrt{6}}{3} \ \ \ (2) }$

Με τον ίδιο τρόπο δείχνεται ότι και οι κορυφές $\displaystyle{B,D}$ προβάλλονται στο ίδιο σημείο $\displaystyle{S}$

και απέχουν από το σημείο αυτό (και συνεπώς από τη διαγώνιο $\displaystyle{AG}$ ) απόσταση όσο και η

κορυφή $\displaystyle{E}$ .

Από τα ανωτέρω προκύπτει ότι οι ακμές $\displaystyle{ AE, AB, AD}$ ανήκουν στον ίδιο κώνο με κορυφή

το σημείο $\displaystyle{A}$ και βάση τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τρίγωνο $\displaystyle{(BED)}$ , όπως δείχνει

το ακόλουθο σχήμα:

: Κύβος 2.png (32.38 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές

Ο όγκος του κώνου αυτού είναι:

$\displaystyle{V_1=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\pi (SE)^2 (AS) }$

και λόγω των (1) και (2) θα είναι:

$\displaystyle{V_1=\frac{2\sqrt{3}\pi}{27} \ \ \ (3) }$

Το ίδιο ισχύει και για τις κορυφές $\displaystyle{C,H, Z}$ , όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα:

: Κύβος 3.png (58.36 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές

Έτσι ο δεύτερος αυτός κώνος είναι ίσος με τον προηγούμενο και θα είναι:

$\displaystyle{V_2=\frac{2\sqrt{3}\pi}{27} \ \ \ (3) }$

Έτσι οι δυο αυτοί κώνοι έχουν άθροισμα:

$\displaystyle{V_{kon}=\frac{4\sqrt{3}\pi}{27} \ \ (4) }$

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#4

ttheodoros έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 23, 2024 11:05 am
Ο κύβος με κορυφές , , , , , , , περιστρέφεται γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και . Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται.

(Συνέχεια...)

Καλησπέρα από Γρεβενά.

Στην περίπτωσή μας, ενδιαφέρει να βρούμε την εξίσωση της επιφάνειας την οποία θα διαγράψουν οι

έξι ακμές του κύβου οι οποίες δεν συντρέχουν στις κορυφές $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{G}$ κατόπιν να την

"κατασκευάσουμε" με λογισμικό και τέλος να βρούμε τον όγκο που αυτή σχηματίζει.

Για απλούστευση θα θεωρήσουμε τον δοθέντα κύβο σε μια θέση ώστε η κορυφή $\displaystyle{A}$ να παραμένει στην

ίδια θέση, αλλά η κορυφή $\displaystyle{G}$ να ανήκει στον άξονα $\displaystyle{x'Ox}$ , όπως αυτό φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

: Κύβος 4.1.png (16.16 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές

Η θέση αυτή η οποία προέκυψε από την αρχικά δοθείσα με δυο κατάλληλες περιστροφές έχουν προκύψει

οι ακόλουθες τιμές - συντεταγμένες των οκτώ κορυφών:

$\displaystyle{A=(0,0,0), B=(\frac{\sqrt{3}}{3},0,\frac{\sqrt{6}}{3}),C=( \frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{6}), D=( 2\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{6}) }$
$\displaystyle{E=(2\frac{\sqrt{3}}{3},0, -\frac{\sqrt{6}}{6}),Z=(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{6}) , H=( 2\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{6}) , G=(\sqrt{3}, 0,0) }$

Οι έξι ακμές οι οποίες περιστρεφόμενες θα δημιουργήσουν την τρίτη επιφάνεια είναι οι ακόλουθες:

$\displaystyle{ (BD),(DC),(CE),(EZ),(ZH),(HB)}$

όπως αυτές φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:

: Κύβος 4.2.png (19.59 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές

Τα άκρα των έξι αυτών ίσων μεταξύ των ακμών του κύβου κινούνται πάνω σε δυο κύκλους

όπως αυτοί φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:

: Κύβος 4.3.png (25.61 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές

Οι κύκλοι αυτοί έχουν κέντρα: $\displaystyle{K=(\frac{\sqrt{3}}{3}, 0,0), L=(2\frac{\sqrt{3}}{3}, 0,0) }$

(Ας θυμηθούμε τους δύο κώνους από την προηγούμενη ανάρτηση)

Ύστερα από αυτά τα έξι αυτά τμήματα θα γράφουν την ίδια επιφάνεια καθώς θα περιστρέφονται γύρω

από τον άξονα $\displaystyle{x'Ox}$ .

Θα μελετήσουμε λοιπόν την επιφάνεια που σχηματίζει ένα από αυτά έστω το τμήμα $\displaystyle{BD}$

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

add2math · #5

Θεωρούμε το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxyz

με αρχή

των αξόνων μια κορυφή του κύβου, άξονα των

τον άξονα περιστροφής του κύβου

και στο επίπεδο Oxy

δύο από τις ενδιάμεσες απέναντι κορυφές,

και $\Theta$ . (βλέπε παρακάτω σχήμα).

: peristrofiCube1.png (58.75 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές

Η διαγώνιος

του κύβου είναι $\sqrt{3}$ , άρα $H(\sqrt{3},0,0)$ . Για το σημείο B(x_B,y_B,0)

έχω $\left\{ \begin{array}{c} OB^2=2 \\ HB^2=1 \end{array} \Rightarrow B\left(\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{6}},0\right)\right.\$ .
Η περιστροφή της ακμής

γύρω από τον άξονα

δημιουργεί έναν κώνο με κυκλική βάση ακτίνας r=y_B

και ύψους

. Συνεπώς ο όγκος του κώνου αυτού είναι $V_1=\frac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h=\frac{1}{3}\pi\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}$ . Η περιστροφή της ακμής

γύρω από τον άξονα

δημιουργεί έναν δεύτερο κώνο ίσο με τον προηγούμενο (λόγω συμμετρίας), άρα $V_2=V_1=\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}$ .

Για το σημείο A(x_A,y_A,z_A)

έχω αρχικά ότι $z_A=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ως ύψος από την κορυφή Α του ορθογώνιου και ισοσκελούς τριγώνου OAB

. Ακόμα έχω $\left\{ \begin{array}{c} OA^2=1 \\ HA^2=2 \end{array} \Rightarrow A\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right.$ .
Η περιστροφή της ακμής

γύρω από τον άξονα

δημιουργεί το κομμάτι του υπερβολοειδούς στερεού (όπως και κάθε ενδιάμεσης ακμής του κύβου, που δεν έχει κορυφή τα

και

). Η περιστροφή της κορυφής

γύρω από τον άξονα

, όπως είδαμε πριν, δημιουργεί την κυκλική βάση κώνου ακτίνας $\frac{2}{\sqrt{6}}$ και θα τέμνει το επίπεδο Oxy

σε ένα σημείο $I\left(x_{I},\frac{2}{\sqrt{6}},0\right)$ . Προφανώς $x_{I}=x_{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ . Άρα $I\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{6}},0\right)$ .

Το μέσο της ακμής

είναι το $M\left(\frac{1,5}{\sqrt{3}},\frac{1,5}{\sqrt{6}},\frac{0,5}{\sqrt{2}}\right)$ . Η απόσταση ενός σημείου (a,b,c)

από τον άξονα

είναι $\sqrt{b^2+c^2}$ (όσο η απόσταση της προβολής του σημείου στο επίπεδο Oyz

από την αρχή

). Άρα $d\left(M,Ox\right)=\sqrt{\frac{2,25}{6}+\frac{0,25}{2}}=\sqrt{\frac{3}{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Η περιστροφή, λοιπόν, του σημείου

γύρω από τον άξονα

δημιουργεί ένα κύκλο ακτίνας $\frac{1}{\sqrt{2}}$ που τέμνει το επίπεδο Oxy

σε ένα σημείο $N\left(x_N,\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$ . Προφανώς $x_N=x_M=\frac{1,5}{\sqrt{3}}$ . Άρα $N\left(\frac{1,5}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$ . Τα τρία σημεία I,N,B

ανήκουν στην τομή του υπερβολοειδούς με το επίπεδο Oxy

που είναι η υπερβολή (c)

με άξονες συμμετρίας τον άξονα

και ευθεία x=m

, άρα η εξίσωσή της (c)

είναι της μορφής $\frac{y^2}{b^2}-\frac{{\left(x-m\right)}^2}{a^2}=1$ . Το σημείο

είναι η κορυφή της υπερβολής συνεπώς $m\ =\ x_N$ άρα η εξίσωση της υπερβολής $(c)\$ γίνεται $\frac{y^2}{b^2}-\frac{{\left(x-m\right)}^2}{a^2}=1$ . Αφού $I\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{6}},0\right)\in (c)\$ έχω $\frac{2}{3b^2}-\frac{1}{12a^2}=1$ και αφού $N\left(\frac{1,5}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)\in (c)\$ έχω $\frac{1}{2b^2}-0=1\Rightarrow \frac{1}{b^2}=2$ και άρα $\frac{4}{3}-\frac{1}{12a^2}=1\Rightarrow \frac{1}{a^2}=4$ . Άρα η εξίσωση της υπερβολής $(c)\$ γίνεται $2y^2-4{\left(x-\frac{1,5}{\sqrt{3}}\right)}^2=1$ .

: peristrofiCube2.png (39.07 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές

Η περιστροφή του καμπυλόγραμμου τμήματος INB

της υπερβολής αυτής διαγράφει το υπερβολοειδές και ο όγκος αυτού δίνεται από τον τύπο
$V_3=\int^{x_B}_{x_I} \pi y^2 dx=\pi\int^{\frac{2}{\sqrt{3}}}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left[2\left(x-\frac{1,5}{\sqrt{3}}\right)^2+\frac{1}{2}\right]dx=\dots =\frac{5\pi}{9\sqrt{3}}$ .

Τελικά ο όγκος του παραγόμενου στερεού είναι $V=V_1+V_2+V_3=\frac{\pi}{\sqrt{3}}\approx 1,813799$ κ.μ.

Όγκος στερεού

Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Μέλη σε σύνδεση