Ένα άθροισμα!

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5298
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ένα άθροισμα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιουν 15, 2024 9:10 pm

Να υπολογιστεί το άθροισμα \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n \cdot 5^n}{\left ( 5^n - 3^n \right ) \left ( 5^{n+1} - 3^{n+1} \right )}}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6428
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ένα άθροισμα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Ιουν 16, 2024 12:41 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Ιουν 15, 2024 9:10 pm
Να υπολογιστεί το άθροισμα \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n \cdot 5^n}{\left ( 5^n - 3^n \right ) \left ( 5^{n+1} - 3^{n+1} \right )}}.
Ισχύει

\displaystyle{ \frac{3^n \cdot 5^n}{\left ( 5^n - 3^n \right ) \left ( 5^{n+1} - 3^{n+1} \right )}=\frac{1}{2}\left(\frac{5^n}{5^n-3^n}-\frac{5^{n+1}}{5^{n+1}-3^{n+1}}\right)}, άρα

\displaystyle{\sum_{n=1}^{N} \frac{3^n \cdot 5^n}{\left ( 5^n - 3^n \right ) \left ( 5^{n+1} - 3^{n+1} \right )}}=\frac{1}{2}\left(\frac{5}{5-3}-\frac{5^{N+1}}{5^{N+1}-3^{N+1}}\right)}.

Στο όριο βρίσκουμε \displaystyle{\frac{1}{2}\left(\frac{5}{2}-1\right)=\frac{3}{4}.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες