mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 15, 2024 3:46 pm**

Το παρακάτω κριτήριο προέκυψε με αφορμή την ανάρτηση viewtopic.php?f=9&t=75518 από τον grigkost

Έστω $I\subseteq\mathbb{R}$ και

σημείο συσσώρευσης του

. Αν το

δεν είναι (άνω/κάτω) φραγμένο τότε το

ενδέχεται να είναι (αντίστοιχα) κάποιο εκ των $\pm\infty$ . Θεωρούμε την ακολουθία συναρτήσεων $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ με $f_n\colon I\rightarrow\mathbb{R}$ η οποία συγκλίνει σημειακά σε μια συνάρτηση $f\colon I\rightarrow\mathbb{R}$ . Ορίζουμε $\ell_{m}\colon=\limsup\limits_{x\to a}|f(x)-f_{m}(x)|$ για $m\in\mathbb{N}$ .

1) Έστω $(n_m)_{m\in\mathbb{N}}$ μια γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών. Να δειχθεί ότι αν $\ell_{n_m}=+\infty$ για κάθε $m\in\mathbb{N}$ τότε η σύγκλιση της (f_n)

στην

δεν είναι ομοιόμορφη.

2) Έστω ότι $\ell_{m}<+\infty$ για κάθε $m\in\mathbb{N}$ . Να δειχθεί ότι: αν $\limsup\limits_{m\to+\infty}\ell_m>0$ τότε η σύγκλιση $(f_n)\to f$ δεν είναι ομοιόμορφη.

mathematica.gr

Ένα κριτήριο μη ομοιόμορφης σύγκλισης

Ένα κριτήριο μη ομοιόμορφης σύγκλισης