mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 23, 2023 7:25 pm**

Ερώτηση: Είναι δυνατόν να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
$\displaystyle{ \int\limits_0^\infty \int\limits_0^\infty\frac{\cos\frac{\pi}2 \left(nx^2-\frac{y^2}n\right)\cos \pi xy}{\cosh \pi x\cosh \pi y}dxdy,~n\in\mathbb{N}\tag{1} }$
χρησιμοποιώντας τη θεωρία των υπολοίπων;

Για παράδειγμα, όταν n=3

$\displaystyle{ \int\limits_0^\infty \int\limits_0^\infty\frac{\cos\frac{\pi}{2} \left(3x^2-\frac{y^2}{3}\right)\cos \pi xy}{\cosh \pi x\cosh \pi y}dxdy=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{6}}. }$
Υπάρχει μια κλειστή συναρτησιακή μορφή για να υπολογίσετε το (1) για αυθαίρετο φυσικό

, αλλά δεν ξέρω πώς να το κάνω με τη θεωρία των υπολοίπων. Ίσως να είναι δυνατόν στην αρχή, αλλά η θεωρία των υπολοίπων είναι πρακτική σε αυτήν την συγκεκριμένη περίπτωση; Φαίνεται ότι μια τέτοια προσέγγιση θα οδηγούσε σε ένα άθροισμα με O(n^2)

όρους. Κάθε υπόδειξη θα εκτιμηθεί.

mathematica.gr

ολοκλήρωμα - πρόβλημα

ολοκλήρωμα - πρόβλημα