Ελαχιστοποίηση ορισμένου ολοκληρώματος

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1768
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Ελαχιστοποίηση ορισμένου ολοκληρώματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Κυρ Σεπ 24, 2023 6:17 pm

Βρείτε την τιμή του a για την οποία ελαχιστοποιείται το \displaystyle\int_{0}^{\pi }{{{\left\{ ax\left( {{\pi }^{2}}-{{x}^{2}} \right)-\sin x \right\}}^{2}}}dx.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15526
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελαχιστοποίηση ορισμένου ολοκληρώματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 24, 2023 7:56 pm

orestisgotsis έγραψε:
Κυρ Σεπ 24, 2023 6:17 pm
Βρείτε την τιμή του a για την οποία ελαχιστοποιείται το \displaystyle\int_{0}^{\pi }{{{\left\{ ax\left( {{\pi }^{2}}-{{x}^{2}} \right)-\sin x \right\}}^{2}}}dx.
Χωρίς τις επίπονες πράξεις ρουτίνας: Αν I(a) το ολοκλήρωμα, πρέπει να βρούμε την τιμή του a για την οποία ισχύει \dfrac {d}{da} I(a)=0. Ένας τρόπος είναι να βρούμε το I(a) το οποίο είναι, όπως φαίνεται αμέσως, δευτεροβάθμιο πολυώνυμο. Γλιτώνουμε πράξεις αν περάσουμε την παράγωγο μέσα στο ολοκλήρωμα, ως μερική παράρωγο. Συγκεκριμένα, θα βρούμε

\displaystyle{\dfrac {d}{da} I(a)= \int_{0}^{\pi } \dfrac  { \partial  }{\partial  a}  \left (ax\left( {{\pi }^{2}}-{{x}^{2}) \right)-\sin x \right )^{2}dx=2 \int_{0}^{\pi }\left(ax\left( {{\pi }^{2}}-{{x}^{2}} \right)-\sin x \right) \left (x\left( {{\pi }^{2}}-{{x}^{2}} \right) \right )  dx }

που είναι πρωτοβάθμιο ως προς a. Και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες