Γινόμενο #9

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\prod_{n=3}^{\infty} \left ( 1 - \tan^4 \frac{\pi}{2^n} \right ) = \frac{\pi^3}{32}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 21, 2023 8:46 am
Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\prod_{n=3}^{\infty} \left ( 1 - \tan^4 \frac{\pi}{2^n} \right ) = \frac{\pi^3}{32}}$

Tα κύρια βήματα λόγω επίπονης πληκτρολόγησης: 'Εχουμε για οποιοδήποτε

στο πρώτο τεταρτημόριο ότι

$\displaystyle{1-\tan ^4 x = (1-\tan ^2x)(1+\tan ^2 x) = \dfrac {\cos ^2 x- \sin ^2x} {\cos ^2x} \cdot \dfrac {1} {\cos ^2x} = \dfrac {\cos 2 x} {\cos ^4x} }$

Άρα το Νιοστό μερικό γινόμενο ισούται

$\displaystyle{ \dfrac { \prod _{n=3} ^{N} \cos \frac {\pi} {2^{n-1}} }{ \left ( \prod _{n=3} ^{N} \cos \frac {\pi} {2^{n} }\right)^4}}$

Οπότε έχουμε να υπολογίσουμε το όριο του εξής (γνωστού) γινομένου που εμφανίζεται και στον αριθμητή και στον παρονομαστή (το ξεκινώ από το m=1

)

$\displaystyle{ \prod _{m=1} ^{M} \cos \frac {t} {2^{m}} \to \dfrac {\sin t}{t}$

(για την απόδειξή του πολλαπλασιάζουμε δεξιά επί $2^{M} \sin \frac {t}{2^M}$ . Με χρήση της $2\sin t \cos t = \sin 2t$ το μαζεύουμε από δεξιά προς αριστερά. Στο τέλος γίνεται χρήση του $2^M \sin \frac {t}{2^M} \to t$ .

Τα υπόλοιπα απλά.

Γινόμενο #9

Γινόμενο #9

Re: Γινόμενο #9

Μέλη σε σύνδεση